Decret del 6-02-2013 del programa de l'assignatura de matemàtiques aplicades a les ciències socials I i II de batxillerat de l'Escola Andorrana

Document tal com es va publicar al BOPA, sense consolidar: no incorpora les modificacions posteriors. BOPA 13/02/2013

�� Decret del Programa de l assignatura de matem�tiques aplicades a les ci�ncies socials I i II de batxillerat de l Escola Andorrana Exposici� de motius Vist l article 17 de la Llei qualificada d educaci�, del 3 de setembre de 1993, en la qual s estableix que els principis rectors del sistema educatiu andorr� i les seves modalitats, els nivells, els cicles, els cursos i les opcions establerts per la Llei es desenvoluparan per un reglament que en determinar� els Programes; Vist l article 9.2 de la Llei qualificada esmentada, en la qual es reconeix que els alumnes tenen dret que el seu rendiment escolar sigui valorat amb criteris objectius; Vist l article 11 de la Llei esmentada, en la qual es reconeix el dret de llibertat de c�tedra dels docents, en el respecte a la Constituci� i exercint-lo amb una finalitat educativa; Vist l article 3 de la Llei d ordenament del sistema educatiu andorr�, del 9 de juny de 1994, en la qual s especifica que correspon al Govern fixar els Programes dels ensenyaments, dels nivells, dels cicles, dels cursos i de les opcions d ensenyament; Vist l article 5 de la Llei esmentada, en la qual es defineix Programa com el conjunt d objectius, continguts, m�todes pedag�gics i criteris d orientaci� i avaluaci� de cadascun dels ensenyaments, dels nivells, dels cicles, dels cursos i de les opcions que configuren el sistema educatiu andorr�; Vist l article 6 de la mateixa Llei, en qu� es concreten diverses consideracions sobre la confecci� i l aplicaci� dels Programes; Vist el Decret d ordenament del nivell educatiu de batxillerat del sistema educatiu andorr�, del 21 de novembre del 2007, i les seves modificacions per decret el 3 de mar� del 2010 i el 16 de maig del 2012; Vist l annex 2 del Decret esmentat, en el qual s inclou el Programa de l assignatura de matem�tiques aplicades a les ci�ncies socials I i II i la necessitat de derogar-lo; Atesa la necessitat de prescriure el Programa de l assignatura de matem�tiques aplicades a les ci�ncies socials I i II per acomplir el que estableix la normativa esmentada anteriorment, presentar �ntegrament totes les parts del Programa i desenvolupar-ne les prescripcions i les orientacions; At�s que el fet de publicar el Programa de cada assignatura de batxillerat per separat facilitar� les eventuals modificacions posteriors; A proposta de la ministra d Educaci� i Joventut, el Govern, en la sessi� del 6 de febrer del 2013, Decreta Article 1 Objecte del Decret Aquest Decret fixa el Programa de l assignatura de matem�tiques aplicades a les ci�ncies socials I i II de batxillerat de l Escola Andorrana, que es recull a l annex. Article 2 Modalitats en qu� s aplica el Programa El Programa de l assignatura matem�tiques aplicades a les ci�ncies socials I i II s implementa en les condicions que estableix el pla d estudis i s aplica a les modalitats de batxillerat que determina la normativa reguladora de l ordenament de batxillerat de l Escola Andorrana. Disposici� derogat�ria Amb l entrada en vigor d aquest Decret queda derogat l annex 2 del Decret d ordenament del nivell de batxillerat del sistema educatiu andorr� del 21 de novembre del 2007 que establia el Programa de matem�tiques aplicades a les ci�ncies socials I i II. Disposici� final Aquest Decret entra en vigor l endem� de ser publicat al Butllet� Oficial del Principat d Andorra. Cosa que es fa p�blica per a coneixement general. Andorra la Vella, 6 de febrer del 2013 Antoni Mart� Petit Cap de Govern Annex Matem�tiques aplicades a les ci�ncies socials I i II 1. Introducci� L educaci� cient�fica en el nivell de batxillerat t� com a objectiu situar l ensenyament de les matem�tiques en la seva dimensi� epistemol�gica, subratllant la pres�ncia de la resoluci� de problemes com a veritable motor del seu desenvolupament. Les matem�tiques es manifesten sovint mitjan�ant un conjunt d enunciats sense origen. No obstant aix�, aquest conjunt d enunciats t� relaci� amb pr�ctiques humanes tan antigues com l escriptura. El desenvolupament dels coneixements matem�tics es fonamenta en l evoluci� successiva dels seus propis models, que augmenten els camps d aplicaci�, tant a nivell de desenvolupament individual com a nivell dels processos hist�rics d una comunitat. En aquest sentit, l establiment de paral�lelismes amb el desenvolupament dels models econ�mics pot aportar un suport interessant per als alumnes. Cal diferenciar la pr�ctica matem�tica del seu producte. La pr�ctica matem�tica mobilitza tot un conjunt de capacitats d experimentaci�, imaginaci�, innovaci� i an�lisi cr�tica. M�s concretament, l alumne ha d arribar a comprendre qu� �s un procediment cient�fic, tant en el marc de les matem�tiques com de l economia. La comprensi� del concepte de procediment cient�fic ha de conduir l alumne a poder plantejar un problema, experimentar num�ricament o gr�ficament a trav�s d exemples, hipotetitzar sobre un resultat, formular un raonament, elaborar eines te�riques, donar una soluci�, redactar una demostraci�, controlar els resultats obtinguts i avaluar-ne la pertin�ncia en funci� del problema plantejat. Actualment, l evoluci� de la tecnologia �s tan r�pida que ja ning� es q�estiona l �s de les tecnologies de l aprenentatge i el coneixement com a recurs en l ensenyament de les matem�tiques. 2. Contribuci� a l educaci� per a la ciutadania L ensenyament de les matem�tiques no es pot limitar a l adquisici� de continguts i de procediments, sin� que tamb� ha d aportar la seva contribuci� a l educaci� de l �sser hum�, en tant que ciutad�. En particular, l estudi dels procediments matem�tics ha de refor�ar la formaci� intel�lectual del ciutad� quant al desenvolupament de la seva capacitat d an�lisi cr�tica, observaci�, experimentaci�, imaginaci� i anticipaci� de decisions a trav�s del c�lcul i el raonament. Les matem�tiques tamb� contribueixen a l enriquiment de l �s de la llengua per part dels alumnes per la pr�ctica continuada de comunicaci�, debat i argumentaci� que es veuen obligats a dur a terme. �s necessari mostrar als alumnes la necessitat d utilitzar un llenguatge prec�s, sense que els alumnes considerin que aquesta exig�ncia �s arbitr�ria. L ensenyament de les matem�tiques atorga als alumnes unes eines de representaci� de tota mena, com ara figures, gr�fics, esquemes, s�mbols i f�rmules. Les representacions faciliten la comprensi� i permeten, alhora, esclarir determinats aspectes de la realitat en relaci� amb els fets. M�s enll� dels procediments generals, el domini dels continguts i dels m�todes espec�fics tamb� contribueix a la formaci� del ciutad�. Les t�cniques matem�tiques de representaci�, de tractament de dades, de resoluci� i d interpretaci� s�n eines �tils i sovint eficaces per millorar la comprensi� de fen�mens, per refor�ar decisions preses o ajudar a actuar en la gesti� familiar i quotidiana, aix� com en l activitat professional. L activitat i les eines de modelitzaci� permeten anticipar evolucions i disposar d instruments d ajuda per prendre decisions. Les nocions de proporcionalitat, de funci� logar�tmica o exponencial, de funci� num�rica i de successi� aporten una mirada matem�tica sobre la comprensi� de nombrosos fen�mens de la vida quotidiana, de la f�sica, de la biologia, de l ecologia, de l economia o de la geografia, entre d altres. Aquestes nocions diferents permeten entendre els problemes plantejats a la nostra societat. L alumne que cursa aquesta assignatura ha de ser conscient de la import�ncia d aquestes eines per entendre els fen�mens econ�mics i borsaris que formen part de la vida quotidiana del segle XXI. Els continguts d estad�stica del programa participen plenament de la formaci� del ciutad�, que cada cop est� m�s confrontat a informacions en xifres i a diversos sondejos. Aix�, l alumnat ha de ser capa� de criticar les formulacions, els comentaris i les interpretacions de les dades en xifres o gr�fics emesos pels mitjans de comunicaci�. D aquesta manera, els ciutadans actuals no poden passar per alt les estad�stiques ni poden acceptar qualsevol xifra, sondeig o informaci� en xifres, sense dur a terme una reflexi� cr�tica. En particular, cal aconseguir que els alumnes siguin capa�os d entendre la informaci� aportada pel valor de la desviaci� t�pica i d adonar-se d all� que �s necessari per comparar diversos fen�mens. Els ciutadans, a m�s d estar confrontats a unes informacions cient�fiques per la multiplicaci� dels mitjans de comunicaci�, han de tenir una formaci� cient�fica s�lida per con�ixer millor les implicacions de la societat d avui dia i els problemes �tics que es plantegen. M�s enll� dels continguts que tracten, les matem�tiques s�n una disciplina que ensenya a plantejar-se q�estions. 3. Compet�ncies espec�fiques 1. Comparar els principis particulars de la demostraci� matem�tica amb les proves de les altres ci�ncies. 2. Aplicar els raonaments matem�tics m�s importants en la resoluci� de problemes. 3. Fer una pr�ctica de c�lcul exacte o de c�lcul aproximat, i dominar les t�cniques de c�lcul num�ric i les t�cniques algebraiques de resoluci� d equacions, d inequacions i de sistemes d equacions. 4. Identificar les relacions entre l aritm�tica, l �lgebra, la geometria i l an�lisi, i posar-les en relaci� entre elles per resoldre problemes de la manera m�s pertinent. 5. Dominar la lectura de la informaci�, sobretot la informaci� amb xifres, la seva cr�tica argumentada i el seu tractament. 6. Tractar dades num�riques de manera pertinent i efica�, i triar el registre de representaci� m�s adequat (gr�fica, quadres, algebraica, etc.). 7. Entendre i aplicar un procediment de modelitzaci� per estudiar fen�mens en matem�tiques o en economia. 8. Aplicar correctament les eines inform�tiques (calculadores, ordinadors, fulls de c�lcul, programaris gr�fics, c�lcul simb�lic, geometria din�mica) en la resoluci� de problemes. 4. Continguts Primer curs 1. �lgebra 1.1. Els polinomis amb una variable indeterminada: el grau d un polinomi, l arrel d un polinomi, les operacions amb polinomis i la factoritzaci� d un polinomi. 1.2. Els polinomis de segon grau: el c�lcul de les arrels, les relacions de les sumes i els productes de les arrels, les formes can�niques, l aplicaci� a l estudi d una funci� polin�mica de segon o de tercer grau, la representaci� gr�fica mitjan�ant par�boles i el signe d un trinomi. 1.2.1. Les equacions i les inequacions de segon grau: el m�tode per factoritzaci� i el m�tode discriminant. 1.2.2. Aplicaci� a les equacions biquadr�tiques. 1.3. Resoluci� d equacions de grau superior a dos, d equacions racionals i d equacions irracionals simples. 1.4. Les equacions lineals amb dos o tres inc�gnites. 1.4.1. Els sistemes d equacions lineals amb dos o tres inc�gnites. 1.4.1.1. El conjunt de solucions i l equival�ncia per operacions elementals sobre les l�nies. 1.4.1.2. Resoluci� i interpretaci� geom�trica en dimensi� 2 o 3. 1.4.1.3. M�todes per combinacions lineals o per substituci�: el cas de dos o de tres inc�gnites. 1.5. Sistemes d inequacions lineals amb dos inc�gnites: resoluci� gr�fica. 2. An�lisi: estudi de les funcions 2.1. Generalitats sobre les funcions reals d una variable real: definici� o representaci� a partir de diverses formes (definici� a partir d una situaci�, f�rmula, quadres de valors, representaci� gr�fica, calculadores, entre altres) i estudi global (conjunt de definici�, paritat, periodicitat, variacions, signe, extrem, entre altres). 2.1.1. El tractament de problemes relatius a les funcions amb l ajuda de la calculadora gr�fica a partir de la selecci� de l opci� correcta (la f�rmula, el quadre, el gr�fic). Triar gr�ficament la finestra correcta. �s de fulls de c�lcul per obtenir fulls de c�lcul de valors i resoluci� de certs problemes num�rics. 2.1.2. Aplicaci� a funcions econ�miques: el cost marginal o el cost mitj�. 2.1.3. Estudi d algunes funcions de refer�ncia: les funcions quadrades, les funcions de segon grau, la funci� cub, la funci� inversa, la funci� homogr�fica i la funci� arrel quadrada, entre d altres. 2.2. En l�mit en un punt i la continu�tat en un punt: el l�mit a l infinit. Aproximaci� intu�tiva per a la introducci� de la derivada. 2.2.1. Aplicaci� a l estudi local d una funci�: determinaci�, quan existeixen, de les as�mptotes verticals, horitzontals, i obliq�es, en casos senzills. Casos en qu� la funci� es pot escriure f(x) = ax + b + u(x) on u(x) tendeix cap a 0 quan x tendeix cap a + " o - ". 2.3. La derivada d una funci� en un punt i sobre un interval. 2.3.1. Aproximaci� num�rica (aproximaci� af�), gr�fica (tangent), funcional (�ndex de variaci�), cinem�tica (velocitat) i econ�mica (cost marginal). 2.3.2. C�lcul de la funci� derivada d una funci�. Les operacions algebraiques sobre les derivades de les funcions: la suma, el producte, l invers i el quocient. 2.3.3. Aplicaci� a l estudi local (els extrems locals d una funci� i la determinaci� de la tangent en un punt a la corba representada) i a l estudi global (la monotonia sobre un interval i els extrems globals d una funci�). 2.3.4. Aplicaci� af� tangent: aplicaci� a l aproximaci� de percentatges. 2.3.5. Aplicaci� econ�mica: l elasticitat d una magnitud amb relaci� a una altra. 3. An�lisi: estudis de les successions 3.1. Definicions d una successi� num�rica. 3.1.1. Diversos modes de representaci� i tractament (l algebraic, el gr�fic, el quadre de valors). 3.1.2. El sentit de variaci�, les s�ries creixents i les s�ries decreixents. 3.1.3. C�lcul dels termes d una successi� algebraicament, amb l ajuda d un full de c�lcul o amb la calculadora (�s directe o programaci�). 3.2. S�ries aritm�tiques i successions geom�triques: diversos modes de descripci� i monotonia. 3.2.1. C�lcul de la suma de n termes consecutius. 3.3. Les successions convergents i els l�mits infinits. Cal evitar tota definici� en e i N. Donar solament una idea intu�tiva de la noci� de l�mits. 3.3.1. Les operacions sobre els l�mits i el l�mit d una successi� aritm�tica o geom�trica. 3.4. Aplicacions. 3.4.1. Les successions d augments absoluts o relatius d un producte. Les successions dels �ndexs. 3.4.2. La modelitzaci� de situacions que duguin a successions aritm�tiques o geom�triques. 3.4.3. Estudi de l evoluci� de fen�mens discrets econ�mics (el capital invertit amb interessos fixos o compostos, els pr�stecs o el creixement demogr�fic, per exemple). 4. Complements en el pla i en l espai 4.1. Els vectors del pla i de l espai: c�lcul vectorial elemental (l addici�, la difer�ncia, el producte per un nombre i les combinacions lineals de vectors) i vectors col�lineals. 4.1.1. Caracteritzaci� vectorial de recta i del pla en l espai. Noci� de punts coplanaris. 4.2. Les refer�ncies ortonormals en el pla i en l espai: determinaci� de la dist�ncia entre dos punts, ortogonalitat de dos vectors i estudi de l alineaci� de punts amb l ajuda de les coordenades. 4.3. Les equacions d una recta en el pla: determinaci� de les diverses equacions cartesianes de la recta en el pla. 4.3.1. Les equacions cartesianes d una recta o d un pla en l espai. 5. Percentatges i estad�stica 5.1. El percentatge com a relaci� d una part al tot o relaci� de dos magnituds. 5.1.1. Variaci� relativa d una magnitud: expressi� en percentatge (o �ndex) d evoluci� d una magnitud, en percentatge d un increment o d una disminuci�, �ndex de creixement i coeficient multiplicador. 5.1.2. Els estudis de variaci� de percentatges, comparaci� i addici� de percentatges, percentatges de percentatges i �ndexs (variacions amb relaci� a una refer�ncia donada com a base 100). 5.2. Estudi i representacions de s�ries estad�stiques (poblaci�, efectius, freq��ncies, representacions gr�fiques, diagrama en caixes, histogrames, pol�gon de freq��ncies). �s d una calculadora gr�fica o d un ordinador. 5.2.1. Les mesures de tend�ncia central (la mitjana, la mediana, la moda i la mitjana sense tenir en compte valors aberrants). 5.2.2. Les mesures de dispersi� (l extensi�, l amplitud la interquart�lica, la vari�ncia i la desviaci� t�pica). 5.2.3. Definici� de la distribuci� de les freq��ncies d una s�rie prenent un petit nombre de valors i de la freq��ncia d un esdeveniment. 5.2.4. Simulaci� i fluctuaci� de mostratge. �s d un full de c�lcul o una calculadora. Segon curs 1. �lgebra i geometria 1.1. Resoluci� de sistemes lineals d equacions amb i sense par�metres de diverses variables: el m�tode de Gauss. 1.2. Els sistemes d inequacions lineals amb dos inc�gnites. 1.2.1. Exemple de problemes senzills relatius a la programaci� lineal. 1.2.2. La resoluci� gr�fica i la regi� soluci�. 1.3. Les refer�ncies en el pla i en l espai. 1.3.1. La posici� relativa (el paral�lelisme, la perpendicularitat, etc.) entre elements geom�trics (el punt, la recta i el pla). 1.3.2. La intersecci� de dos plans, d una recta i d un pla, de tres plans. 1.3.3. Els m�todes geom�tric i algebraic. Les relacions amb la resoluci� de sistemes d equacions lineals. 1.4. C�lcul matricial 1.4.1. La noci� de matrius, el cas dels vectors, de les l�nies o de les columnes: les operacions, la dimensi�, la multiplicaci� d una matriu per un vector, la multiplicaci� de dos matrius i els exemples d �s per descriure situacions amb nombroses dades. 1.4.2. Aplicaci� per a la resoluci� de sistema d equacions lineals. 1.4.3. Estudi de la recerca de la inversa d una matriu quadrada. 1.4.4. C�lcul a m� i �s de la calculadora o de l ordinador (full de c�lcul). 2. An�lisi: funcions 2.1. Les nocions de l�mit finit o infinit. 2.1.1. Els l�mits de la suma, del producte, del quocient de dues s�ries o de dues funcions; el l�mit de la composici� de dues funcions, de la composici� d una s�rie i d una funci�. 2.1.2. Recerca d as�mptotes 2.1.3. Els l�mits i comparacions de funcions. El teorema relatiu a les desigualtats de funcions. 2.2. La continu�tat en un punt i la continu�tat sobre un interval. 2.2.1. El teorema dels valors intermedis. 2.2.2. El teorema de la bijecci�. 2.3. Les funcions derivades. 2.3.1. Les normes de derivaci� i sobre la relaci� entre el signe de la derivada i les variacions de la funci�. Els extrems. 2.3.2. Aplicaci� a l estudi de funcions. 2.3.3. La derivada d una funci� composta. 2.3.4. Estudi de les funcions econ�miques: les produccions, el cost mitj� i el cost marginal, l oferta i la demanda. 2.4. Les funcions logar�tmiques i exponencials. 2.4.1. La funci� logar�tmica neperiana i la funci� exponencial de base e. 2.4.2. Les propietats algebraiques. 2.4.3. La derivaci� i els comportaments de les as�mptotes, i l aspecte de les corbes representatives. 2.4.4. Aproximaci� de ln(1+x). 2.4.5. El creixement comparat de les funcions exponencials, les pot�ncies enteres i els logaritmes. 2.4.6. Estudi de les funcions del tipus x � In(u(x)) on u �s una funci� estrictament positiva sobre un interval. La noci� de derivada logar�tmica. Les derivades logar�tmiques d un producte o d un quocient. 2.4.7. Les refer�ncies semilogar�tmiques. 2.4.8. Aplicaci� econ�mica: l increment mitj� relatiu d una funci� entre dos valors i el creixement instantani relatiu en un punt. Estudi de la variaci� d una funci� en percentatge, en funci� d una variaci� de la variable en percentatge: l elasticitat d una magnitud amb relaci� a una altra. 3. An�lisi: estudi de les successions 3.1. El l�mit finit o infinit d una s�rie. 3.2. Els l�mits i l ordre. El teorema relatiu a la desigualtat de successions. Estudi de les successions recurrents. �s del raonament per recurr�ncia. El teorema de les successions mon�tones. 3.3. �s de la calculadora o d un full de c�lcul per representar successions, calcular quadres de valors o per programar els termes d una successi�. Resoluci� aproximada de certs problemes, per exemple doblament de capitals. 3.4. Modelitzaci� de situacions per successions aritm�tiques i geom�triques, com per exemple els interessos simples i compostos o que hi facin refer�ncia. 3.5. Exemple d estudi de successions que verifiquin una relaci� de recurr�ncia del tipus un+1 = aun + b. Exemple de situacions com l evoluci� d una poblaci�, reemborsament d un pr�stec, entre altres, modelitzades per unes s�ries com aquestes. 3.6. Exemples de successions que verifiquin una relaci� de recurr�ncia del tipus un+2 = aun+1 + bun. Exemple de situacions modelitzades per unes s�ries com aquestes. 4. An�lisi: integral d una funci� cont�nua sobre un interval 4.1. La relaci� amb �rees. 4.2. La primitiva d una funci� cont�nua sobre un interval i aplicaci� al c�lcul d integrals. 4.3. El valor mitj� d una funci� com aquesta. 4.4. La linealitat, la positivitat, l ordre i la relaci� de Chasles. 4.5. La desigualtat de la mitjana. 4.6. Integraci� per parts. 4.7. Les primitives de les funcions elementals i les f�rmules de c�lcul algebraic de primitives. 4.8. C�lcul d integrals definides i aplicaci� al c�lcul d �rees i al c�lcul de volums. 4.9. Aplicacions a funcions econ�miques: el cost total i el cost marginal. 5. Estad�stica 5.1. Les s�ries estad�stiques amb dos variables. Representacions per un n�vol de punts i un punt mitj�. �s eventual de refer�ncies semilogar�tmiques. 5.2. Estudi de propietats de correlaci�. L ajustament af� per m�nims quadrats, recta de regressi� i coeficient de correlaci� lineal. 6. Probabilitat 6.1. L atzar. Experi�ncia aleat�ria. L univers, els esdeveniments elementals, l esdeveniment impossible, els esdeveniments incompatibles, els esdeveniments contraris, la uni� de dos esdeveniments i la intersecci� de dos esdeveniments. 6.2. Definici� d una llei de probabilitat. La funci� de probabilitat, l esperan�a, la vari�ncia i la desviaci� t�pica d una llei de probabilitat. La probabilitat d un esdeveniment, de la reuni� i de la intersecci� d esdeveniments. El cas de l equiprobabilitat. Exemples de lleis discretes. 6.2.1. La llei dels grans nombres. 6.3. La probabilitat condicional. 6.3.1. La independ�ncia de dos esdeveniments. 6.3.2. La f�rmula de les probabilitats totals. 6.4. Modelitzaci� d experi�ncies aleat�ries de refer�ncia: llan�ament d un o de diversos daus o monedes que siguin discernibles o no ho siguin, sorteig en una urna o tria de xifres a l atzar, per exemple. 6.5. La variable aleat�ria, la llei d una variable aleat�ria, l esperan�a, la vari�ncia i la desviaci� t�pica. 6.6. Combinat�ria: les combinacions, les variacions i les permutacions. 6.6.1. La f�rmula del binomi. 6.6.2. La llei de Bernoulli i la llei binomial. L esperan�a, la vari�ncia d aquestes lleis, i les seves aplicacions. 5. Avaluaci� 5.1. Orientacions per a l avaluaci� Les activitats d avaluaci� han de permetre verificar els coneixements adquirits pels alumnes sobre t�cniques i teories definides en les compet�ncies, els continguts del programa i en els criteris d avaluaci�, aix� com tamb� el desenvolupament de les compet�ncies espec�fiques. La naturalesa dels exercicis que es proposen als alumnes ha de ser variada i progressiva, com per exemple, exercicis d aplicaci� directa de la classe i problemes que comportin preguntes encadenades que permetin als alumnes verificar-ne els resultats. Els objectius d aquestes avaluacions s han d explicitar clarament als alumnes, que tamb� n han de con�ixer els criteris. Cal tenir en compte els procediments emprats, les temptatives pertinents i els resultats parcials, encara que l alumne no els hagi adquirit o encara que el seu raonament no sigui el que el professor espera, llevat que formi part del contracte did�ctic. Cal evitar les exig�ncies r�gides pel que fa a la formulaci� en els ex�mens, i �s necessari indicar clarament als alumnes que es tindr� en compte la qualitat de la redacci�, la claredat i la precisi� dels raonaments. La condici� de certes eines o de certs procediments tamb� ha de ser objecte d una negociaci� i d una explicaci�, aix� com l �s dels resultats de la calculadora o el recurs a gr�fics per donar suport a una argumentaci�. 5.2. Criteris d avaluaci� Primer curs 1. �lgebra 1.1. Con�ixer la terminologia espec�fica i les caracter�stiques generals de les funcions polin�miques (operacions, factoritzaci�, simplificaci�, etc.). 1.2. Manipular funcions polin�miques de segon grau. En particular, elaborar-ne la gr�fica representativa i resoldre equacions i inequacions de segon grau. 1.3. Resoldre equacions de grau tres coneixent una arrel i equacions racionals o irracionals simples. 1.4. Resoldre sistemes d equacions lineals amb dos o tres inc�gnites pels m�todes de combinacions lineals, per substituci� i pel m�tode gr�fic. 2. An�lisi: estudi de les funcions 2.1. Con�ixer els conceptes b�sics associats a les funcions reals d una variable real: el conjunt de definici�, el conjunt imatge, la representaci� gr�fica, les variacions, els m�xims, els m�nims, la paritat i la composici� de funcions. 2.2. Con�ixer les caracter�stiques principals de les funcions polin�miques de grau 2 i 3, de la funci� inversa, de la funci� arrel quadrada i de les funcions trigonom�triques. 2.3. Con�ixer el concepte de l�mit d una funci� en un punt i calcular l�mits finits i infinits senzills. Calcular as�mptotes verticals i horitzontals. 2.4. Determinar la continu�tat d una funci� en un punt i distingir entre els diversos tipus de discontinu�tat. 2.5. Con�ixer el concepte de derivada, justificar la derivabilitat d una funci� en un punt i derivar funcions senzilles combinant les propietats de les operacions algebraiques sobre les derivades amb les derivades de les funcions usuals. 2.6. Utilitzar el concepte de derivada en l estudi de funcions: con�ixer la relaci� entre el signe de la derivada i les variacions d una funci�, les implicacions de la derivabilitat en relaci� amb la gr�fica, etc. 2.7. Tra�ar la gr�fica d una funci� a partir de l estudi anal�tic del domini, de la continu�tat, de la derivabilitat, de les arrels, dels intervals de creixement o decreixement, dels m�xims i m�nims relatius, dels l�mits, de les as�mptotes i de la paritat. 3. An�lisi: estudis de les successions 3.1. Con�ixer el concepte de successi� i les seves caracter�stiques b�siques: interpretar i estudiar el creixement o decreixement, distingir les successions convergents de les que no ho s�n i determinar-ne el l�mit a partir de les propietats de les operacions sobre els l�mits. 3.2. Distingir les successions aritm�tiques i geom�triques de les que no ho s�n i con�ixer-ne les propietats espec�fiques. 4. Geometria vectorial: pla i espai vectorial 4.1. Con�ixer les operacions elementals del c�lcul vectorial (l addici�, la difer�ncia, etc.). 4.2. Utilitzar la noci� de refer�ncia ortonormal en el pla i en l espai per determinar la dist�ncia entre punts, estudiar l ortogonalitat entre vectors i demostrar que diversos punts estan alineats, etc. 4.3. Determinar les diverses equacions d una recta en el pla i d una recta o d un pla en l espai. 5. Percentatges i estad�stica 5.1. Utilitzar percentatges per expressar una proporci�, un augment, una disminuci�, etc. 5.2. Calcular i interpretar les principals mesures de tend�ncia central (la mitjana l aritm�tica, la mediana i la moda) i de dispersi� (l amplitud, l interval interquart�lic, la vari�ncia i la desviaci� t�pica) d una s�rie estad�stica. Segon curs 1.1. �lgebra i geometria 1.1.1. Resoldre sistemes d equacions lineals amb i sense par�metres utilitzant el m�tode de Gauss. 1.1.2. Resoldre gr�ficament un sistema d inequacions lineals amb dos inc�gnites i aplicar-ho a la resoluci� de problemes de programaci� lineal. 1.1.3. Determinar les posicions relatives (el paral�lelisme, la perpendicularitat, etc.) entre elements geom�trics (la recta i el pla). Calcular la intersecci� d elements geom�trics a partir d un m�tode geom�tric o algebraic. 1.1.4. Sumar i multiplicar matrius, calcular la inversa d una matriu d ordre 2 o 3, resoldre sistemes d equacions lineals expressats de forma matricial. 1.2. An�lisi: funcions 1.2.1. Calcular l�mits de funcions en un punt o en l infinit. Tractar formes indeterminades. Determinar les as�mptotes verticals, horitzontals i obliq�es. 1.2.2. Justificar la continu�tat en un punt o en un interval. Justificar els tipus de discontinu�tat m�s habituals. 1.2.3. Utilitzar el teorema de la bijecci� i el dels valors intermedis per determinar la imatge d un interval o per localitzar la soluci� d una equaci� del tipus f(x) = a. 1.2.4. Justificar la derivabilitat d una funci� en un punt o en un interval. Calcular derivades emprant les operacions algebraiques sobre derivades i la regla de la cadena. 1.2.5. Relacionar les variacions d una funci� amb el signe de la derivada, justificar l exist�ncia d extrems locals. 1.2.6. Con�ixer les propietats de les funcions logar�tmiques i exponencials (la derivabilitat, els l�mits als extrems, els comportaments asimpt�tics, les corbes representatives i el creixement comparat). 1.3. An�lisi: estudi de successions 1.3.1. Justificar la converg�ncia o la diverg�ncia d una successi�. Calcular el l�mit d una successi� convergent. Utilitzar successions recurrents. Usar un raonament per recurr�ncia. 1.3.2. Modelitzar situacions econ�miques a partir de successions aritm�tiques o geom�triques. 1.4. An�lisi: integral d una funci� cont�nua sobre un interval 1.4.1. Calcular la integral d una funci� en un interval utilitzant les primitives de les funcions usuals o la integraci� per parts. 1.4.2. Aplicar el c�lcul integral al c�lcul d �rees, volums o de funcions econ�miques. 1.5. Estad�stiques 1.5.1. Representar una s�rie estad�stica amb dues variables a partir d un n�vol de punts. Determinar i interpretar les mitjanes i vari�ncies marginals, la covari�ncia, la recta de regressi� i el coeficient de correlaci� lineal. 1.6. Probabilitat 1.6.1. Utilitzar vocabulari probabil�stic per descriure els elements associats a un experiment aleatori (els esdeveniments, l univers, la prova, etc.). 1.6.2. Calcular probabilitats utilitzant les propietats d una llei de probabilitat, la regla de Laplace, la probabilitat condicionada, la independ�ncia de successos i la f�rmula de les probabilitats totals. 1.6.3. Determinar la llei d una variable aleat�ria, la seva esperan�a, vari�ncia o desviaci� t�pica; saber-la fer servir per interpretar fen�mens probabil�stics. 1.6.4. Calcular el nombre de combinacions, variacions o permutacions. 6. Orientacions did�ctiques Respecte a la tria de continguts matem�tics del programa, els problemes matem�tics requereixen la intervenci� d equacions, inequacions i sistemes amb m�ltiples equacions i variables, el tractament del qual requereix un domini important d aquestes nocions. Aix�, durant el primer curs es consoliden i s estudien en profunditat els m�todes vistos en cursos anteriors. Durant el segon curs, quan hi ha un gran nombre d equacions i de variables, s introdueixen uns m�todes m�s sistem�tics i m�s c�modes, sobretot amb el m�tode de Gauss. El c�lcul matricial tamb� esdev� una ajuda en relaci� amb l aportaci� de la inform�tica i de la calculadora. Cal evitar una presentaci� massa formal d aquesta disciplina. La interpretaci� de diversos sistemes en termes geom�trics forma part d aquesta perspectiva i, a m�s, d�na altres coneixements sobre les equacions i els sistemes. Per exemple, el tema sobre la noci� de successi� correspon a tota una part del programa d an�lisi que ocupa un lloc fonamental. No nom�s com a objecte essencial de la construcci� matem�tica, sin� tamb� com una eina de modelitzaci� dels fen�mens discrets, sobretot en economia. Se n ha d excloure qualsevol definici� en e i N i s han de presentar unes activitats que permetin fer sentir el concepte de l�mit d una successi�. Aquest treball pot preparar el referent al l�mit d una funci� en un punt, m�s dif�cil de gestionar. La relaci� entre matem�tiques i economia troba naturalment el seu fonament en la modelitzaci� dels fen�mens econ�mics. Aix�, els conceptes d an�lisi s il�lustren per situacions i funcions econ�miques (funcions de cost, quantitat de producte, oferta, demanda, entre altres). S ha de fer la relaci� entre conceptes, com la noci� de creixement instantani relatiu en un punt i conceptes matem�tics com la derivada logar�tmica. De la mateixa manera, les nocions de s�ries aritm�tiques i geom�triques agafen sentit r�pidament a trav�s de les situacions de pr�stecs o d inversi� amb interessos simples o compostos. El treball sobre les nocions de successions, de successi� aritm�tica i de successi� geom�trica aporta unes eines fonamentals de modelitzaci� dels fen�mens discrets en economia. En aquesta din�mica, en el segon curs s introdueixen alguns exemples de situacions que es modelitzen per unes successions que verifiquen una relaci� de recurr�ncia del tipus un+1 = aun + b (evoluci� d una poblaci�, reemborsament d un pr�stec) o del tipus un+2 = aun+1 + bun. L aprenentatge de les eines d estudi de la informaci� amb xifres comen�a per reprendre la noci� intu�tiva de percentatges i de les operacions sobre els percentatges. L ensenyament s ha de basar constantment sobre aquestes nocions durant els dos cursos (freq��ncies, dades en percentatge, evoluci� de s�ries cronol�giques), successions geom�triques (obtingudes per increments o disminucions successius). Els alumnes han de saber passar d una formulaci� additiva sovint emprada per comunicar, a una formulaci� multiplicadora m�s adaptada al c�lcul, i rec�procament, ja que molts contextos econ�mics en fan �s (els c�lculs de preus sense impostos, reduccions, percentatges mitjans d evoluci�). Tamb� s ha d ensenyar els alumnes a formular aquestes evolucions en terme d �ndex (comparaci� al valor pres en un any determinat com a base 100). La introducci� de l estad�stica no cedeix a una moda sin� a una evoluci� de la societat, que barreja les teories matem�tiques i el desenvolupament de la inform�tica. Es tracta de posar en evid�ncia la pr�ctica molt espec�fica de l estad�stica financera o econ�mica, fundada en una problem�tica pr�pia, la naturalesa dels fets i de les dades a tractar. En aquesta secci�, les dades estan sovint ordenades i s han de tractar amb s�ries cronol�giques. A m�s, els conceptes espec�fics estan introdu�ts com els �ndexs econ�mics i les dades agafen formes espec�fiques (dades mitjanes). Els alumnes han de tenir en compte la naturalesa mateixa de les dades tractades abans de descriure-les, de representar-les o de tractar-les. El recull de dades per part dels alumnes, ja sigui manualment o a trav�s de mitjans tecnol�gics, permet implicar-los d una manera personal en les activitats d ensenyament i aprenentatge. Aix�, cal tenir en compte que la simulaci� amb l ajuda de la calculadora o de l ordinador d�na f�cilment moltes dades, sobretot aleat�ries, enriqueix l experi�ncia del que �s aleatori i permet observar fen�mens variats. Aix� es poden obtenir estimacions de resultats impossibles de calcular expl�citament i de validar els diferents models. S iniciar� r�pidament els alumnes a saber utilitzar les eines de tractament i de representaci� adequades, �s a dir l ordinador o la calculadora en mode estad�stic per a s�ries petites. Respecte a la realitzaci� del programa, l aprenentatge del raonament matem�tic ha de ser l objecte d una atenci� constant del professor aix� com dels alumnes. Els alumnes aprenen a raonar sempre que es proposa una activitat matem�tica. Es tracta de fer sentir que la demostraci� de l activitat matem�tica �s constructiva, ja sigui a trav�s dels grans problemes, ja sigui dels exercicis d aplicaci�, i aix� en tots els blocs de contingut matem�tic. Cal diferenciar clarament les fases de recerca de les fases de redacci�, durant les quals s ha de motivar els alumnes a fer una presentaci� m�s rigorosa, respectant el codi matem�tic. De manera progressiva, les activitats proposades als alumnes han de fer ressortir que les matem�tiques no s�n nom�s un cos d enunciats, de definicions, de teoremes, de propietats, d exemples que se succeeixen sin� que es fonamenten en raonaments espec�fics que permeten validar els enunciats. Els treballs han de continuar mostrant les caracter�stiques del raonament deductiu, i sobretot l encadenament de passos deductius que es basin en unes premisses i en uns teoremes ben identificats. Els alumnes han de localitzar clarament la condici� de diversos enunciats en joc (la definici�, l axioma, la conjectura, el teorema demostrat i el teorema adm�s, entre altres). Cal comen�ar a treballar en altres tipus de raonament i en la demostraci� que se n fa, com la demostraci� per l absurd , l �s de demostraci� per contraposici� , el raonament per disjunci� dels casos o el raonament per recurr�ncia , que �s indispensable en certs problemes relacionats amb les successions. D altra banda, el professor ha de preparar els alumnes per aprofitar les potencialitats i veure els l�mits dels instruments moderns com les calculadores o els ordinadors. Les calculadores gr�fiques programables han de formar part del conjunt d eines de l alumne cient�fic o econ�mic, com el comp�s ho �s del ge�metra. Cal tenir present que es planteja un �s d aquests instruments per ells mateixos, i que els treballs proposats han d estar relacionats amb els continguts dels diversos blocs del programa. Les calculadores i els programaris donen possibilitats d experimentaci� de problemes num�rics o situacions econ�miques i es fan c�rrec d un gran nombre de c�lculs o d una multitud de casos de figures. La calculadora �s indispensable per als estudis estad�stics. Es fa servir per a la resoluci� de sistemes i per al c�lcul matricial del segon curs. Aquestes eines tamb� permeten verificar emp�ricament o controlar diverses propietats. Es poden emprar per a una aproximaci� de certs conceptes delicats com el de l�mit . L entorn inform�tic ajuda a desenvolupar l autonomia dels alumnes en l elaboraci� de treballs. En contrapartida, l �s dels instruments requereix uns coneixements matem�tics per analitzar resultats, fins i tot rebutjar-los, tant en c�lcul num�ric o algebraic, com en l �mbit de les funcions o tamb� en geometria. El professor planteja activitats a trav�s de les quals es fixen, no nom�s els objectius d aprenentatges matem�tics, sin� tamb� els objectius m�nims sobre l �s dels instruments: calculadores, tra�adors o fulls de c�lcul per visualitzar corbes, obtenir quadres de valors, programar un c�lcul complex o una successi� recurrent. Tota sessi� que utilitzi les TICE es conclou amb una s�ntesi final, i s actualitza el treball matem�tic que s ha dut a terme perqu� no es limitin �nicament als aspectes t�cnics. Hi ha molt programari que �s una veritable ajuda per a l aprenentatge. Es poden citar els programaris de geometria din�mica o tamb� els programaris com Aplusix i Derive per a l �lgebra. Per descomptat, les calculadores simb�liques que integrin versions de certs programes anteriors presenten l avantatge d un treball m�s f�cil d integrar en el dia a dia de les classes. Des del punt de vista de l execuci�, el professor pot variar els tipus d activitats amb els alumnes (activitats de descoberta, problemes oberts o de recerca, exercicis d aplicaci�, d entrenament o d aprofundiment) que no tenen la mateixa funci� en una seq��ncia d ensenyament i que no impliquen sempre el mateix contracte did�ctic amb l alumne. L �xit d una seq��ncia d ensenyament de matem�tiques dep�n en una part important de la varietat d activitats que s hi posin en pr�ctica. �s preferible evidenciar en els objectius els diversos vessants de l activitat matem�tica a classe: cercar, trobar resultats parcials, plantejar-se q�estions, experimentar, observar, explicar oralment un procediment, redactar en un esborrany i despr�s passar-ho a net, argumentar, demostrar, entrenar-se a emprar una t�cnica, aplicar un coneixement, etc. Aquests aspectes diferents es treballen en diversos moments i el professor ha d apreciar els llocs relatius, d una banda, de les activitats preparat�ries, exercicis d aplicaci� o d aprofundiment, i dels temps de s�ntesi; i d altra banda, dels treballs individuals, en grups o amb el grup classe complet. Les situacions m�s complexes permeten als alumnes aprendre, m�s en profunditat, les relacions entre les diverses parts de les matem�tiques. Aquest tipus de situaci� �s prop�cia a la recerca de diversos m�todes, per intentar optimitzar-los i discutir-ne la pertin�ncia i el camp de validesa. Pel que fa a les situacions rutin�ries, cal desenvolupar l actitud cr�tica dels alumnes, abans d aplicar mec�nicament els algoritmes de c�lcul o de representacions gr�fiques, i afavorir que tinguin en compte les singularitats o les simplificacions caracter�stiques de cada cas concret. Tot i que les matem�tiques tenen un aspecte sint�tic, els alumnes han de procurar tenir cura de la qualitat, de la claredat i de l acabament dels treballs que hagin elaborat. L ensenyament de les matem�tiques ha de diversificar com a m�nim els tres tipus de textos escrits que segueixen: a) Els escrits a casa o a classe sorgits de la recerca d exercicis d aplicaci� o d aprofundiment de la classe, que permetin als alumnes consolidar i dominar les t�cniques i les teories de base i dur-les a terme en exemples senzills. Aquests escrits es basen en el programa i en el curs desenvolupat pel professor. b) Els treballs individuals de redacci�, de llargada diversa, corresponents a la confecci� de recerques fetes a classe o a casa, sobre situacions o problemes m�s complexos. Aquests treballs s�n necessaris per al desenvolupament de les capacitats heur�stiques dels alumnes, de les capacitats per fer raonaments matem�tics espec�fics i de les capacitats per mobilitzar els seus coneixements en els diversos blocs. Aquest treball de redacci� permet treballar el simbolisme matem�tic, la presentaci� d una demostraci� i dels resultats matem�tics. Els deures a casa s�n una activitat m�s personal per continuar el treball sobre la condici� de les demostracions constitutives de les matem�tiques i per aprendre a redactar-les correctament. c) Les avaluacions cont�nues permeten verificar els coneixements adquirits pels alumnes sobre les t�cniques i les teories que proposa el programa. Aquests tres tipus de treballs i d escrits formen part �ntegra de l aprenentatge matem�tic i cal trobar un equilibri entre aquests.