Statut: vigent · Texte en vigueur au 22/10/2026 · Données jusqu’au BOPA du 21/10/2026 · Publiée au BOPA núm. 29, any 2019 (27/03/2019) · Page complète (historique des versions)
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Le présent décret fixe le programme de la matière de mathématiques scientifiques et techniques du baccalauréat général de l'École andorrane, établie à l'article 10 du décret du 20-03-2019 d'organisation du niveau du baccalauréat général du Système éducatif andorran.
Le programme de la matière de mathématiques scientifiques et techniques est mis en œuvre dans les conditions établies par le plan d'études et s'applique dans les termes déterminés par la réglementation régissant l'organisation du baccalauréat de l'École andorrane.
Le programme de la matière de mathématiques scientifiques et techniques du baccalauréat général de l'École andorrane figure en annexe.
décret du 6-02-2013 du programme de la matière de mathématiques I et II du baccalauréat de l'École andorrane est abrogé.
présent Décret entre en vigueur le lendemain de sa publication au Bulletin officiel de la Principauté d’Andorre .
Annexe.
INTRODUCTION Les mathématiques font partie intégrante de la vie sociale et productive actuelle comme elles ne l'avaient jamais été auparavant.
La révolution actuelle de la connaissance, avec un impact technologique énorme, rend indispensable que les élèves ayant des vocations scientifiques et techniques doivent maîtriser les compétences mathématiques.
Avec une attitude critique et réfléchie sur les nouvelles réalités et leur projection dans l'avenir de l'Andorre du XXIe siècle, les élèves de la matière de mathématiques scientifiques et techniques du baccalauréat acquièrent les compétences mathématiques essentielles pour les utiliser dans toutes sortes de situations, avec un usage efficace des technologies disponibles et en appréciant, à travers des applications réelles dans divers contextes, la valeur des modèles mathématiques théoriques et appliqués.
Au cours du déroulement de la matière, la formation mathématique de l'enseignement secondaire est substantiellement élargie et les élèves sont préparés à de futures études universitaires scientifiques et techniques (licences de sciences, de sciences de la santé, ingénieries et architecture, entre autres).
En même temps, elle offre une formation par compétences qui doit servir en elle-même à relever les défis mathématiques que la vie actuelle exige et à atteindre la fin ultime de l'étude des mathématiques, qui est d'apprendre à penser avec rigueur.
Partout dans le monde, les mathématiques sont travaillées selon une approche par compétences.
La compétence mathématique se définit comme « l'habileté à développer et à appliquer le raisonnement mathématique afin de résoudre des problèmes dans une grande variété de situations et de contextes ».
C'est-à-dire acquérir des aptitudes mathématiques et être capable de les appliquer à des problèmes de la réalité.
Les élèves doivent découvrir et reconstruire les mathématiques, c'est-à-dire construire leurs propres mathématiques.
Il est donc entendu que la tâche principale du professeur est d'aider les élèves en posant des questions, en fournissant des aides, en guidant et en orientant plutôt qu'en apportant des solutions définitives.
Les applications des mathématiques dans des situations réelles constituent un élément instructif et motivant pour poser des défis mathématiques et mener des recherches interdisciplinaires dans des contextes de toutes sortes.
Elles permettent d'observer si les compétences mathématiques ont été acquises, c'est-à-dire si l'élève sait appliquer les mathématiques apprises (ressources et compétences) dans des contextes divers et si, pour ce faire, il établit des liens entre tous les savoirs (savoir, savoir-faire et savoir appliquer).
COMPÉTENCES SPÉCIFIQUES Les axes didactiques des programmes de baccalauréat de l'École andorrane sont : la résolution de problèmes, la modélisation, le raisonnement mathématique et la compétence communicative liée aux mathématiques en tant que langage, qui inclut, entre autres, les compétences de représentation et d'usage du langage formel.
De ces quatre axes découlent les quatre compétences du programme, qui peuvent être travaillées de manière indépendante.
Bien qu'il soit fréquent que, lorsqu'on en travaille une, les autres soient travaillées de manière inhérente, les programmes de mathématiques du baccalauréat mettent l'accent sur le développement de ces quatre compétences.
De cette manière, on favorise le fait que, lorsque l'élève fait des mathématiques au baccalauréat, il les développe toutes les quatre sans que l'une soit subordonnée à l'autre.
L'étude des mathématiques scientifiques et techniques doit permettre d'acquérir les compétences spécifiques suivantes : C1 RAISONNER MATHÉMATIQUEMENT AVEC DIVERSES RESSOURCES LOGIQUES Le développement de cette compétence constitue le cœur de l'apprentissage mathématique.
La rigueur propre au raisonnement mathématique fait partie de l'ADN de la matière.
Lorsqu'on parle de raisonnement, on fait référence au raisonnement déductif bien connu qui part de notions primitives et de postulats déterminés et, en appliquant les principes de la logique mathématique, établit progressivement les conséquences logiques pertinentes (théorèmes).
Mais, en outre, le raisonnement mathématique fait également allusion à d'autres formes de raisonnement utiles en mathématiques : établir des analogies, induire à partir de premiers cas, étendre des propriétés du plan à l'espace, raisonner par l'absurde en supposant ce qui se passerait si ce qui est affirmé n'était pas vrai.
Dans cette compétence, il est également pertinent de développer le raisonnement plausible, c'est-à-dire formuler des conjectures raisonnables sur des faits et savoir en vérifier la validité ou reformuler les prévisions initiales.
Ce type de raisonnement facilite une interprétation correcte de l'erreur et éduque la pensée critique des élèves.
Une caractéristique des mathématiques est la nécessité de faire des démonstrations et, au niveau du baccalauréat, il convient d'apprécier la nécessité de justifier ce qui est dit, c'est-à-dire étayer par des raisonnements, et non par des faits empiriques, la validité des propriétés ou des processus.
La validité universelle et éternelle des théorèmes mathématiques contraste avec le caractère révisionniste et évolutif des autres sciences.
Dans cette compétence, il faudra également clarifier ce que sont les critères logiques sur la vérité ou la fausseté, en faisant voir ce que sont les propositions susceptibles d'être vraies ou fausses et ce que sont d'autres faits ou phrases du langage naturel qui n'admettent pas de critères de vérité.
Cette dimension présente également un intérêt dans les domaines du langage et de la philosophie.
ORIENTATIONS DIDACTIQUES Favoriser le développement par l'élève de la compétence en raisonnement est le résultat d'un long processus d'acculturation mathématique.
Tout au long des études, les formes de raisonnement propres à la matière s'élargissent progressivement.
Pendant l'enseignement primaire et l'enseignement secondaire, la rigueur dans l'argumentation augmente graduellement et, au baccalauréat, elle culmine avec des formulations de raisonnements mathématiques plus formelles que, de surcroît, l'élève apprécie comme nécessaires.
La célèbre devise didactique « Let us teach guessing » (enseignons en conjecturant) est toute une déclaration d'intentions sur la manière dont on peut découvrir progressivement les mathématiques.
Nous faisons des démonstrations en classe pour mieux comprendre les concepts et les faits mathématiques travaillés, et on ne le fait nullement en hommage historique aux pionniers de la matière.
Ce principe doit orienter le corps enseignant lorsqu'il détermine ce qu'il faut démontrer et ce qu'il n'est pas nécessaire de démontrer : il ne faut démontrer une chose que lorsque la démonstration elle-même apporte une meilleure compréhension, un bénéfice cognitif évident.
Sur le plan didactique, les « démonstrations sans mots » peuvent présenter un intérêt particulier : il s'agit de produire des images puissantes qui étayent les raisonnements.
De l'heureuse rencontre entre visualisation et raisonnement découle, comme valeur ajoutée, une nouvelle ressource pour mieux comprendre les mathématiques en s'aidant de dessins ou de modèles manipulables.
C2 RÉSOUDRE DES PROBLÈMES MATHÉMATIQUES ET APPLIQUÉS À DES CONTEXTES SCIENTIFIQUES ET TECHNIQUES Cette compétence est clé dans l'apprentissage des mathématiques et va bien au-delà de la résolution routinière d'exercices qui donnent simplement confiance dans l'application d'un résultat, d'un algorithme ou d'une formule.
Selon le modèle de George Pólya, « résoudre un problème, c'est trouver un chemin là où l'on n'en connaissait aucun auparavant, trouver le moyen de sortir d'une difficulté, de contourner un obstacle et d'atteindre la solution souhaitée, que nous ne pourrions pas obtenir de manière immédiate, en utilisant, pour y parvenir, les moyens adéquats ».
Les stratégies heuristiques et leurs combinaisons sont en elles-mêmes des contenus à travailler, puisque, heureusement, il existe aujourd'hui de nombreuses méthodes bien documentées pour résoudre des problèmes.
Si, au fur et à mesure que l'on résout des problèmes, les méthodes heuristiques peuvent entrer en scène, il peut également être intéressant d'expliquer les plus centrales et d'offrir divers exemples de leur potentiel : essai et erreur, résoudre un problème semblable plus simple, diviser le problème initial en parties et faire un schéma/dessin de la situation, entre autres aspects.
C'est dans la résolution de problèmes qu'il est possible de découvrir ce que chaque branche des mathématiques peut apporter à la formulation, à l'approche et à la résolution de la question posée.
En particulier, c'est dans l'usage de diverses ressources que l'on pourra mieux voir lesquelles sont plus simples à utiliser, lesquelles sont les plus fécondes, etc. Le point clé du processus de résolution des problèmes intervient lorsque l'on met en œuvre le plan d'action en suivant les quatre étapes de Pólya : comprendre, planifier, exécuter le plan choisi et superviser de manière critique les résultats obtenus.
Il convient de dire que cette compétence est présente à tous les niveaux éducatifs de mathématiques, mais qu'au baccalauréat elle doit être acquise en employant de nouvelles ressources et techniques propres au cycle et en appliquant les résolutions à des problèmes scientifiques et techniques propres au niveau du baccalauréat.
ORIENTATIONS DIDACTIQUES La résolution de problèmes, en tant que pilier des activités d'apprentissage, doit faire l'objet d'une attention pédagogique particulière.
L'accompagnement de cette activité est clé et l'on doit amener l'élève à vivre la découverte des solutions, en évitant de les anticiper et en laissant une marge à la créativité des élèves et au plaisir inhérent au fait de se sentir protagonistes d'une découverte propre.
Beaucoup des problèmes choisis peuvent être ouverts et admettre des solutions diverses qu'il faut justifier dans chaque cas, mais il s'est également avéré intéressant que ce soient les élèves eux-mêmes qui proposent des énoncés, ce qui revient à montrer la capacité de formuler des questions mathématiques.
Il s'agit bien d'une approche de recherche dans laquelle tout commence par savoir se poser des questions pour ensuite chercher des réponses.
La méthode des quatre étapes de Pólya s'est révélée être un précieux instrument pédagogique pour apprendre à résoudre des problèmes :
1. Compréhension du problème Tout commence par s'assurer que l'élève comprend bien l'énoncé du problème, les mots qui y figurent, les données qui y sont fournies, ce que l'on veut déterminer, etc. Lors de cette première familiarisation avec le problème, il faut se poser des questions du type : comprenons-nous bien l'énoncé ? Que cherche-t-on ? Quelles sont les inconnues ? Quelles sont les données fournies ? Manque-t-il des données ? Les données sont-elles contradictoires ? Y a-t-il des données superflues ou non pertinentes ? Nous souvenons-nous d'un problème semblable déjà résolu auparavant ?
2. Planification Dans cette phase préparatoire, préalable à l'approche mathématique du problème, une réflexion sereine s'impose, au cours de laquelle l'élève doit se poser des questions telles que les suivantes : connaissons-nous un problème qui lui ressemble ? Pouvons-nous transformer le problème en un problème plus simple ? Peut-on y introduire d'autres éléments ou données auxiliaires ? Que se passe-t-il si l'on applique la méthode directe d'essai et erreur ? Peut-on formuler une conjecture ? Existe-t-il un schéma qui puisse aider ? Pouvons-nous faire des diagrammes ou des figures qui nous inspirent sur les solutions plausibles du problème ? Y aurait-il un raisonnement indirect à appliquer ? Et si l'on commençait par des cas plus simples ?
3. Exécution du plan Une fois le problème compris et le plan d'action formulé, il faut mettre en œuvre la stratégie choisie. Il faut alors mobiliser les ressources mathématiques connues : nombres, ressources algébriques ou fonctionnelles, mesures, formes et transformations géométriques, processus statistiques, analyse probabiliste, etc.
4. Révision Il s'agit de faire une analyse du processus suivi pour la résolution et d'analyser en détail les résultats obtenus en déterminant, le cas échéant, les plus adéquats au problème.
Quelques questions clés pour guider cette dernière étape sont : a-t-on obtenu une solution correcte ? A-t-on obtenu une solution qui résout l'énoncé posé ? Y aurait-il une manière plus simple d'arriver au résultat ? Pourrait-on envisager un cas plus général ? Faudrait-il refaire le plan suivi ? En ce qui concerne la dynamique de la classe, la résolution de problèmes permet aussi bien le travail individuel que le travail en binômes ou en petits groupes, sans oublier la mise en commun générale à la fin du processus.
Il convient de noter qu'il s'agit d'un sujet idéal pour des approches interdisciplinaires lorsqu'on aborde des problèmes scientifiques et techniques et que l'organisation d'ateliers de problèmes s'avère également très efficace.
Les ateliers de problèmes peuvent inclure une phase expérimentale, de manipulation ou de recherche initiale de données, et l'on peut alors réaliser des travaux en équipe pour relever les défis posés (ouverts ou fermés), et préparer à la fin la communication/présentation (écrite ou orale) de ce qui a été fait et des résultats.
C3 MODÉLISER MATHÉMATIQUEMENT DES SITUATIONS SCIENTIFIQUES ET TECHNIQUES EN UTILISANT DES RESSOURCES NUMÉRIQUES, ALGÉBRIQUES, FONCTIONNELLES OU STATISTIQUES Cette compétence doit permettre de découvrir le lien étroit qui peut exister entre les outils et les ressources mathématiques et la possibilité d'aborder des questions complexes de la réalité, c'est-à-dire savoir relier et appliquer la mathématique à des questions scientifiques et techniques motivées par des problématiques réelles.
C'est pourquoi le travail de cette compétence invite à une collaboration étroite entre les disciplines du domaine scientifique et technique.
Le développement de cette compétence commence par l'approche de questions réelles, en observant les données dont on dispose sur le fait à analyser ou les données qu'il vaudrait la peine de rechercher afin de compléter le point de départ, puis l'on procède à l'établissement d'un petit modèle mathématique pouvant décrire la situation donnée.
Dans le modèle peuvent apparaître diverses variables, leurs relations possibles et, en particulier, leurs dépendances, ce qui conduit souvent à établir des équations, des formules ou des inégalités.
C'est la phase de modélisation ou de mathématisation de la réalité.
Ensuite, la tâche doit se centrer sur le travail mathématique au sein du modèle formulé en mobilisant les ressources numériques, algébriques, fonctionnelles ou statistiques disponibles, ce qui conduit à calculer, résoudre des équations ou des inéquations, tracer des graphiques ou employer les outils de calcul ou de représentation appris.
Dans cette phase, on doit parvenir à des solutions ou à des conclusions quantitatives du modèle proposé.
Dans la troisième phase, il faut aborder l'interprétation des résultats par rapport au problème initial que l'on veut résoudre, ce qui conduit à éliminer les résultats qui n'ont pas de sens dans le contexte de travail, à apprécier s'il existe plusieurs solutions possibles et à comparer leur adéquation.
Il est très important, pour acquérir cette compétence, de réviser de manière critique ce qui a été obtenu et de valider son caractère suffisant ou, sinon, de se rendre compte que les conclusions sont peu pertinentes ou insuffisantes et qu'une reformulation du modèle initial est nécessaire pour introduire de nouvelles conditions, de nouveaux paramètres ou des données supplémentaires, entre autres, et refaire le chemin vers un nouveau modèle révisé et son exploitation pertinente.
ORIENTATIONS DIDACTIQUES Le processus de mathématisation de la réalité présente un intérêt dans toutes les sciences et techniques et doit permettre des interactions intéressantes entre elles.
Mais il faut aussi aborder des aspects de la réalité plus proche, de la vie quotidienne que vivent les élèves, et ainsi faire apprécier ce que les mathématiques apportent à la société actuelle : en économie, planification urbaine, consommation, informations, prévisions, etc. En ce sens, cette compétence doit permettre un lien étroit avec des questions particulièrement liées à la réalité physique et sociale de l'Andorre, en mettant particulièrement l'accent sur des sujets d'actualité.
Les approches de sujets historiques des mathématiques sont toujours une ressource intéressante, mais il peut l'être encore davantage de relier les mathématiques à des sujets de brûlante actualité, surtout lorsqu'Internet et les réseaux sociaux apportent des nouveautés de toutes sortes qui peuvent être exploitées en classe.
Il ne faut pas oublier que les processus de mathématisation doivent également inclure des processus d'expérimentation, qui vont des usages technologiques (représentation de données, figures dynamiques, etc.) jusqu'à la création de modèles physiques avec des ressources didactiques (matériaux de construction, maquettes, machines, etc.).
C4 COMMUNIQUER AVEC LE LANGAGE MATHÉMATIQUE ET DES OUTILS TECHNOLOGIQUES LES PROCESSUS ET LES RÉSULTATS D'UNE SITUATION MATHÉMATIQUE Il s'agit d'une compétence qui mérite une attention particulière, car elle est extraordinairement révélatrice du degré de maturité mathématique atteint par l'élève.
Dans le monde des mathématiques se produit un mélange non trivial de langages expressifs (mots, symboles, diagrammes, figures, etc.) et il faut que les élèves finissent par employer avec aisance les langages mathématiques.
Au « savoir », au « savoir-faire » et au « savoir appliquer », il faut ajouter le « savoir communiquer », qui signifie savoir exprimer avec son propre langage (oral, écrit ou au moyen de représentations) ce que l'on fait et pourquoi on le fait.
Une première dimension de la compétence sera l'usage des ressources logicielles pour calculer, organiser des données, faire des représentations graphiques, expérimenter avec des figures alternatives dynamiques, etc. Au-delà de la présentation des résultats, il faut travailler le choix des moyens à utiliser et leur portée.
Dans le cas de la résolution de problèmes et également dans les processus de modélisation, il est très pertinent de montrer la capacité d'expliquer les étapes suivies, les résultats qui en découlent et la raison pour laquelle certaines options ont été prises plutôt que d'autres.
Il faut également montrer une compétence communicative interdisciplinaire, c'est-à-dire savoir communiquer en combinant les ressources expressives de la mathématique avec celles qui sont propres aux autres sciences.
Cette polyvalence communicative sera favorisée par le développement de projets, ou la résolution de problèmes, appliqués.
ORIENTATIONS DIDACTIQUES Aider à développer la compétence communicative doit faire partie de la stratégie pédagogique consistant à favoriser les actes de communication en classe, tant individuels qu'en groupe.
La compétence communicative offre un intéressant point de rencontre entre mathématiques, sciences et langue ; il ne faut pas oublier que le langage mathématique est le langage universel qui permet une communication très précise partout dans le monde et transcende tout domaine de connaissance.
Il est important de travailler la communication verbale chaque fois que l'occasion se présente.
L'élève doit savoir verbaliser, comprendre et poser des questions tant sur des processus que sur des raisonnements, en utilisant avec précision les langages mathématiques et en exposant avec rigueur.
Il faut obtenir la même chose dans la communication écrite lors de la présentation de problèmes résolus ou de travaux ou projets réalisés.
Dans ce cas, il est bon que, lors de la définition des travaux ou projets, l'élève sache d'emblée comment la présentation est attendue et ce qui sera évalué ; cela peut être remis par écrit sous forme de consignes de présentation à suivre.
De nouveau, l'élève doit comprendre ce qui lui est demandé dans tout langage mathématique qu'il a déjà travaillé.
Aujourd'hui, et grâce à la facilité de la communication internationale, il est possible d'établir des actes de communication entre des classes de lieux très éloignés (visioconférences), ce qui a donné lieu à d'intéressants échanges d'activités en ligne entre classes.
RESSOURCES D'APPRENTISSAGE Les ressources d'apprentissage sont structurées dans ce programme en quatre blocs, qui doivent être traités de manière motivée et appliqués à des contextes réels.
La sélection des ressources en classe doit répondre à la logique du contexte à travailler et les ressources de différents blocs doivent être choisies selon ce qui convient.
Les situations d'enseignement et d'apprentissage doivent être choisies en tenant compte de l'intérêt formatif recherché par l'enseignant, de sujets qui soient stimulants pour les élèves et, dans la mesure du possible, de sujets d'actualité.
Il faut toutefois s'assurer que les élèves mobilisent des ressources de tous les blocs au cours du baccalauréat.
Les quatre blocs de ressources sont : 1) nombres, 2) géométrie et algèbre linéaire, 3) calcul et 4) statistique et probabilité.
Le premier bloc comprend les ressources qui permettent de développer le sens numérique pour choisir la précision ou décider des erreurs tolérables dans les calculs numériques.
Avec les ressources d'apprentissage de géométrie et d'algèbre linéaire, les élèves explorent le plan et l'espace tridimensionnel, les formes/figures et leurs transformations pour connaître l'espace.
Le bloc 3 doit servir à analyser le changement au moyen des fonctions et du calcul.
Avec les ressources de statistique et de probabilité du bloc 4, on travaille les données et le traitement de l'information.
BLOC 1 NOMBRES Le bloc des nombres fournit les ressources pour compter, mesurer et représenter des situations quantitatives et les calculer.
Pendant le baccalauréat, une révision globale est proposée pour élargir ce que les élèves savent déjà et, surtout, pour apprécier les potentialités de chaque type de nombre.
Ce bloc conduit à combiner des estimations de résultats, des conjectures de solutions possibles, des approximations à faire et, si possible, les calculs exacts pertinents en utilisant des technologies pour calculer ou représenter.
Dans ce bloc, nous trouvons les nombres d'une importance singulière : pi, le nombre d'or, les racines carrées, etc., qui ne présentent pas seulement un intérêt pour les mathématiques, mais aussi pour leurs applications en sciences et en art. Les suites et les limites, les progressions arithmétiques et géométriques et les décimaux méritent également une attention particulière.
Il est important que les élèves développent un sens numérique aiguisé pour choisir la précision qu'ils souhaitent ou que chaque cas requiert.
BLOC 1 : NOMBRES FAITS ET CONCEPTS Types de nombres et leurs représentations • Contextes historiques de la création des nombres.
Exemples de codes numériques actuels. • Nombres naturels, entiers, rationnels, réels, décimaux et irrationnels. • Théorème de l'irrationalité des racines carrées de naturels. • Le nombre . • Représentations numériques et graphiques des nombres. • Opérations sur les nombres réels.
Polynômes • Les nombres comme racines : polynômes à une indéterminée.
Degré et racines d'un polynôme. • Opérations sur les polynômes.
Factorisation d'un polynôme. • Les polynômes du second degré : calcul des racines, relations entre les sommes et les produits des racines.
Nombre d'or.
Suites de nombres • Les suites convergentes et les limites infinies. • Opérations et limites. • Suites croissantes et suites décroissantes. • Le théorème des suites monotones bornées. • Les progressions arithmétiques et géométriques. • Approximations de nombres par des décimaux.
PROCÉDURES Réalisation de calculs numériques • Calculs avec des décimaux.
Développer le sens numérique. • Distinction entre estimation, approximation et calcul exact. • Comparaison de tous les types d'erreurs numériques.
Majorer les erreurs numériques. • Calcul des termes d'une suite algébriquement, à l'aide d'un tableur ou avec la calculatrice. • Calcul de la somme de n termes consécutifs dans des progressions arithmétiques et géométriques. • Somme des termes infinis d'une progression géométrique décroissante. • Approximation de nombre (aire, volume, racine carrée…).
Usage de représentations numériques • Représentation des nombres dans une calculatrice/un ordinateur. • Représentation graphique des solutions numériques. • Usage des nombres adéquats dans divers contextes. • Modélisation de la croissance et de la décroissance au moyen de suites numériques. • Codage et décodage de codes simples. • Application de calculs numériques à des sujets de physique, chimie, biologie et ingénierie. • Appréciation des problèmes numériques découlant des travaux pratiques de laboratoire et de leurs instruments.
ATTITUDES ET VALEURS • Appréciation des potentialités et des limites de chaque type de nombre. • Appréciation de la précision numérique en fonction du problème posé. • Appréciation du contraste entre résultats numériques exacts et approchés. • Appréciation de la valeur des nombres dans notre société actuelle. • Usage responsable des résultats quantitatifs.
ORIENTATIONS DIDACTIQUES DU BLOC L'histoire des mathématiques fournit des prétextes intéressants pour mobiliser les ressources de ce bloc de manière contextualisée.
La création de chaque type de nombre (naturels, entiers, rationnels, réels et irrationnels) est née de besoins et de problèmes scientifiques et techniques concrets qui peuvent constituer un bon cadre de contextualisation pour les explorer et comprendre les potentialités de tous les types de nombres.
Les situations de la vie quotidienne offrent également des contextes intéressants pour mobiliser les ressources.
Il est nécessaire d'avoir un sens numérique aiguisé en termes de précision : combien de décimales ont du sens pour exprimer les degrés de la température corporelle ?, combien de décimales conviennent pour exprimer la température du four d'incinération de l'usine de traitement des déchets ? Ce sens numérique est également nécessaire pour décider des erreurs absolues ou relatives tolérables dans les résultats de laboratoire, dans les erreurs possibles découlant de l'instrumentation utilisée ou dans les erreurs de calculs numériques dans des contextes de physique, chimie, biologie et ingénierie.
D'autres matériels ou situations riches mathématiquement parlant sont les formats de papier (système DIN A), les mesures de longueur, de surface, de volume, de poids, de température et de temps, les échelles des cartes, et les proportions en architecture et en design (nombre d'or), entre autres.
Le codage au moyen de nombres invite également à explorer des questions numériques intéressantes : les codes commerciaux à 13 chiffres, le code Braille, le code Morse, les codes bancaires, les codes-barres d'identification, etc. BLOC 2 GÉOMÉTRIE ET ALGÈBRE LINÉAIRE Ce bloc a pour objectif fondamental la connaissance mathématique du plan et de l'espace.
La ressource clé est constituée par les systèmes d'équations linéaires et leur développement correct est indispensable pour raisonner, résoudre des problèmes et modéliser.
La résolution de problèmes et en particulier les processus de modélisation conduisent nécessairement à la « linéarisation ».
Par conséquent, interpréter géométriquement et résoudre les équations linéaires avec les outils de calcul les plus adéquats est clé dans les processus nécessaires au développement de ces compétences mathématiques.
La mise à jour et l'usage des outils de calcul font que le cas des déterminants ou des règles de Sarrus a aujourd'hui une valeur plus relative qu'il y a quelques années.
À la fin du tableau figurent des ressources liées aux figures planes et spatiales, ainsi que des transformations géométriques qui, bien qu'elles ne fassent généralement pas l'objet d'un développement formel, il convient de savoir qu'elles existent afin d'acquérir une culture spatiale.
BLOC 2 : GÉOMÉTRIE ET ALGÈBRE LINÉAIRE FAITS ET CONCEPTS Contextes historiques de la création des géométries.
Les types de géométries et leur applicabilité aujourd'hui.
Trigonométrie • Les angles et leurs mesures (degrés et radians). • Rapports trigonométriques (sinus, cosinus, tangente). • Théorème du sinus et du cosinus et leurs démonstrations visuelles. • Relations fondamentales entre rapports trigonométriques. • Formules trigonométriques de somme et de différence d'angles.
Cas des angles doubles et moitiés. • Résolution de triangles.
Géométrie vectorielle dans le plan et l'espace • Les vecteurs du plan et de l'espace.
Grandeurs et directions.
Calcul vectoriel (addition, différence, produit par un nombre et combinaisons linéaires de vecteurs).
Les vecteurs libres comme translations. • Les bases du plan et de l'espace.
Composantes d'un vecteur dans une base donnée. • Dépendance et indépendance linéaire de vecteurs : détermination d'ensembles dépendants et indépendants de vecteurs. • Produit scalaire de deux vecteurs du plan ou de l'espace.
Orthogonalité.
Les repères orthonormés dans le plan et dans l'espace.
Projections.
Normes, angles et distances entre vecteurs, points, droites, plans.
Applications géométriques et en physique. • Le produit vectoriel de deux vecteurs dans l'espace et le produit mixte de trois vecteurs : interprétation et propriétés.
Applications géométriques et en physique. • Les équations alternatives d'une droite dans un plan ou dans l'espace et des plans dans l'espace.
Positions relatives entre éléments géométriques (points, droites, plans).
Calculs des intersections ; détermination de l'alignement de points ; parallélisme et perpendicularité.
Distances. • Modèles vectoriels en physique et en ingénierie.
Matrices et calcul matriciel • Définition de matrice et classification.
Matrice carrée, rectangulaire, triangulaire et diagonale. • Opérations : somme et différence de matrices, produit d'une matrice par un réel et produit de matrices.
La matrice transposée et la matrice inverse.
Déterminants • Les déterminants d'ordre 2 et d'ordre
3. Règle de Sarrus. • Les déterminants d'ordre supérieur : les propriétés des déterminés.
Développement par rapport à une ligne ou une colonne. • Application des déterminants au calcul du rang et de l'inverse d'une matrice et au calcul d'aires et de volumes.
Les systèmes d'équations linéaires • Systèmes d'équations linéaires.
Interprétation géométrique.
La classification des systèmes : les systèmes compatibles déterminés ou indéterminés et incompatibles.
Forme matricielle d'un système d'équations. • Résolution de systèmes linéaires d'équations à deux ou trois inconnues, avec ou sans paramètres, à partir de la méthode de Gauss ou par combinaisons linéaires ou par substitution. • Théorème de Rouché-Frobenius : application à l'étude de l'existence et de l'unicité des solutions d'un système. • Résolution de systèmes linéaires d'équations à deux ou trois inconnues, avec ou sans paramètre, à partir de la méthode de Cramer. • Systèmes linéaires et modélisation.
Application à la résolution de problèmes géométriques, d'analyse et d'autres disciplines.
Figures et transformations géométriques • Coniques (ellipse, parabole, hyperbole) comme lieux géométriques et comme sections planes de cônes et de cylindres.
(*) • Polyèdres de base dans l'espace.
Théorème d'Euler.
(*) • Propriétés des solides de révolution (sphère, cône, cylindre).
(*) • Transformations géométriques (translation, rotation, symétrie, similitude, projections).
(*) (*) Brèves descriptions verbales, visuelles et par formules des coniques, des polyèdres de base, des solides de révolution et des transformations en faisant voir une propriété caractéristique et leur intérêt actuel dans les applications.
PROCÉDURES • Application de ressources trigonométriques pour résoudre des problèmes de topographie, d'architecture et de génie civil. • Application de ressources de la géométrie vectorielle pour résoudre des problèmes. • Application de ressources d'algèbre linéaire pour résoudre des problèmes. • Reconnaissance des figures géométriques de base du plan et de l'espace et savoir en faire un bon usage dans la résolution de problèmes. • Raisonnement géométrique en termes synthétiques (Euclide). • Raisonnement sur l'opportunité d'employer les ressources géométriques (affines, analytiques, vectorielles, synthétiques). • Raisonnement sur les extrapolations des propriétés du plan à celles de l'espace. • Raisonnement fondé sur des transformations géométriques (translater, faire tourner, appliquer une symétrie, appliquer des similitudes, projeter). • Analyse de figures en réalisant des dissections, des sections, des projections... • Constructions géométriques à la règle et au compas ou à l'aide de ressources TIC géométriques, en justifiant les étapes suivies. • Modélisation géométrique à l'aide de formes et de transformations. • Formulation de modèles vectoriels en physique et en ingénierie. • Application des coniques à des modèles en astronomie, physique, art, design et architecture. • Détermination de lieux géométriques. • Application de la géométrie dans l'espace à la modélisation en physique, chimie, art, design, architecture, cartographie, sciences de la terre.
ATTITUDES ET VALEURS • Plaisir des belles figures géométriques en tant que base pour y mener des raisonnements et apprécier leur beauté. • Appréciation des nombreuses ressources géométriques et algébriques pour résoudre des problèmes. • Appréciation des apports substantiels des géométries au développement scientifique et technique.
ORIENTATIONS DIDACTIQUES DU BLOC Compte tenu de la richesse de l'histoire de la géométrie, la vision panoramique de ce qu'a été cette discipline et des problèmes qui en ont motivé le développement, ainsi que l'évolution des ressources de calcul ou de représentation qui ont été progressivement nécessaires pour faciliter l'exploration du plan et de l'espace, constituent à nouveau des contextes d'un grand intérêt didactique pour capter l'attention des élèves afin de travailler la géométrie.
Dans le bloc coexistent des thèmes classiques, mais encore utiles, comme c'est le cas de la trigonométrie.
La trigonométrie classique est applicable dans des contextes de topographie, de sciences de la terre, d'architecture et de génie civil, de conception de mécanismes, de calculs sur le terrain, etc. Un autre thème classique est constitué par les vecteurs et les matrices, qui peuvent servir aussi bien à décrire des figures et des transformations au moyen de coordonnées qu'à conserver des informations numériques de manière ordonnée.
Aujourd'hui, les vecteurs et les matrices sont utilisés dans des dimensions supérieures pour organiser des informations (messages, clés, images, etc.) et formuler des concepts de base de la physique ou de l'ingénierie, tels que les forces, l'équilibre, la stabilité, etc. D'autres applications géométriques actuelles, comme la robotique et ses applications industrielles, la vision par ordinateur, les mécanismes conçus pour remplir des fonctions diverses, l'empaquetage, les recouvrements, la modélisation de solides (photocopies 3D), la cartographie et le système GPS, constituent un précieux instrument didactique pour choisir des problèmes contextualisés.
Les coniques, les corps ronds et les polyèdres de base sont des objets authentiquement géométriques qui méritent d'être mentionnés en appréciant leurs caractéristiques de base et leur usage actuel dans les conceptions, les structures, les empaquetages, etc. De même, les transformations géométriques sont à la base de thèmes créatifs très actuels d'un intérêt didactique particulier pour travailler la géométrie dynamique avec des logiciels : théorie de la symétrie, mosaïques, robotique, projections cartographiques et GPS, entre autres.
BLOC 3 CALCUL Les ressources d'apprentissage du calcul s'articulent autour des fonctions.
En résumé, les fonctions sont interprétées comme des dépendances entre variables, l'adéquation de divers modèles de fonctions est raisonnée et des fonctions sont construites à partir de certaines exigences ou de recueils de données.
Les concepts de domaine fonctionnel et d'image, les catégories de fonctions continues et dérivables nécessitent une attention particulière afin de découvrir comment la croissance/décroissance, la convexité/concavité, les maximums/minimums et les points d'inflexion peuvent, au-delà de l'examen visuel intuitif, être calculés à partir des dérivées.
La notion de dérivée en tant que pente de la tangente ouvre également la voie à l'idée clé d'approximation linéaire sur des intervalles et, par conséquent, au calcul approché de nombreuses valeurs fonctionnelles.
Ce thème est important pour la résolution de nombreux problèmes et pour l'élaboration de modèles fonctionnels simples de phénomènes.
Le cas des intégrales ne mérite qu'une brève approche, soit en tant que processus inverse de la dérivation (intégrales indéfinies), soit en tant qu'outil pour le calcul d'aires et de volumes (intégrales définies).
Les classes de fonctions qui doivent être travaillées à ce niveau sont les fonctions polynomiales, trigonométriques et exponentielles/logarithmiques.
BLOC 3 : CALCUL FAITS ET CONCEPTS Étude des fonctions • Concept de fonction.
Fonctions réelles d'une variable réelle.
Étude de base des fonctions : domaine et image, signes, points d'intersection, symétries. • Représentations de fonctions (tableaux de valeurs, formules, graphiques...). • Traitement de problèmes relatifs aux fonctions à l'aide de la calculatrice graphique. • Étude des fonctions polynomiales, rationnelles, irrationnelles et trigonométriques. • Limites et fonctions.
Limites d'une fonction en un point et à l'infini.
Limite finie ou infinie.
Les formes indéterminées.
Limites et opérations fonctionnelles, application à l'étude locale d'une fonction et détermination d'asymptotes verticales, horizontales et obliques. • Les fonctions continues.
Types de discontinuités.
La continuité sur un intervalle.
Continuité latérale.
Théorème de Bolzano, théorème des valeurs intermédiaires. • Modèles fonctionnels dans des problèmes d'optimisation de grandeurs et en physique.
Les fonctions dérivées • Concept de dérivée.
Sécantes et tangentes.
Les règles de dérivation.
La dérivée d'une fonction composée. • Relation entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction.
Les extremums.
La dérivabilité latérale. • Application à l'étude de fonctions.
Croissance et décroissance.
Maximums et minimums relatifs. • Les dérivées successives.
La convexité, la concavité et les points d'inflexion. • Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis : interprétation géométrique. • Dérivation et taux de variation.
Applications en cinématique, mouvements ondulatoires, cinétique chimique, lois des gaz parfaits.
Fonctions logarithmiques et exponentielles • La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle de base e. Propriétés et graphiques. • La croissance comparée des fonctions exponentielles, des puissances entières et des logarithmes. • Modèles en croissance des populations, pH chimique, échelle de Richter, physique nucléaire, électrotechnique, sciences forensiques.
Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle • Les primitives d'une fonction continue sur un intervalle et application au calcul d'intégrales.
Théorème fondamental de l'analyse.
Règle de Barrow. • Propriétés de base des intégrales. • Les primitives des fonctions élémentaires et les formules de calcul de primitives. • Intégration par parties.
Intégration par changement de variable. • Calcul d'intégrales définies et application au calcul d'aires et au calcul de volumes.
PROCÉDURES • Interprétation des fonctions comme des dépendances entre variables. • Extrapolation et interpolation de valeurs de fonctions. • Appréciation des liens entre dérivation et intégration. • Raisonnement sur l'adéquation de divers modèles fonctionnels. • Construction de fonctions satisfaisant certaines exigences. • Calcul de dérivées. • Étude les fonctions au moyen de leur dérivation. • Approximation locale de fonctions par des droites. • Calcul d'intégrales et de mesures associées. • Application des ressources fonctionnelles à la résolution de problèmes. • Utilisation des TIC pour résoudre des problèmes à l'aide de ressources fonctionnelles. • Utilisation des représentations fonctionnelles adaptées à chaque cas et dans divers contextes. • Travail avec des modèles fondés sur les fonctions logarithmiques et exponentielles en économie, physique, chimie, démographie et sciences forensiques. • Formulation de modèles fonctionnels de situations réelles.
Cas d'optimisation. • Application des dérivées à l'étude de taux de variation et de problèmes de physique, chimie et biologie.
ATTITUDES ET VALEURS • Plaisir des représentations graphiques fonctionnelles claires. • Appréciation de la valeur des fonctions dans des applications pratiques. • Appréciation des nombreuses ressources fonctionnelles pour résoudre des problèmes. • Appréciation des interprétations correctes des fonctions présentes dans la vie quotidienne.
ORIENTATIONS DIDACTIQUES DU BLOC Tous les contenus du bloc 3 peuvent être motivés par des problèmes réels et, en particulier, des problèmes scientifiques et techniques.
Dans ces problèmes, la représentation et le calcul fonctionnel sont des éléments clés, et les calculs d'optimisation, essentiels.
Il convient de diffuser l'idée que la plupart des fonctions sont empiriques et non le résultat de formules simples.
À partir des fonctions, sont effectués des calculs qui ont un sens.
Il convient d'éviter l'ancienne approche selon laquelle le bloc fonctionnel s'articulait autour de listes de dérivées et d'intégrales à mémoriser.
Les fonctions de ce bloc permettent de travailler d'intéressants problèmes d'optimisation de grandeurs et de taux de variation ainsi que leurs applications en physique.
L'application des dérivées pour étudier les variations de fonctions ouvre également un cadre très large d'applications en ingénierie, biologie, physique, chimie et sciences de la terre, entre autres disciplines.
L'utilisation de supports technologiques permet de résoudre des problèmes à l'aide de ressources fonctionnelles, tant computationnelles que graphiques.
Tirer parti des ressources graphiques et computationnelles, présentes aussi bien dans les calculatrices que dans les logiciels et sur Internet, permet de comparer des fonctions ou de les déterminer.
Ne pas le faire ne permettrait de comparer et de déterminer des fonctions qu'avec du papier millimétré et un nombre réduit de données.
Il y a peu d'années, sans ces ressources technologiques, cette approche était impossible.
BLOC 4 STATISTIQUE ET PROBABILITÉ Il convient de noter que, dans les développements traditionnels des mathématiques, les éléments de la théorie des probabilités, normalement abordés selon le modèle axiomatique de Kolmogorov, constituaient un prérequis pour effectuer ensuite un développement statistique.
Mais la tendance éducative actuelle invite à commencer par la statistique en tant que science des données et à trouver les probabilités précisément comme limite des fréquences statistiques des événements.
Tel est le choix retenu dans ce bloc, dans lequel il est recommandé de consacrer plus de temps au paragraphe statistique qu'aux probabilités.
BLOC 4 : STATISTIQUE ET PROBABILITÉ FAITS ET CONCEPTS Statistique • La statistique en tant que science des données.
Objectifs , méthodes et applications.
Le métier de statisticien. • Échantillonnage.
Échantillonnage aléatoire.
Expériences.
Simulations.
Preuves statistiques.
Principes pratiques. • Description des données.
Tableaux.
Graphiques de distributions.
Secteurs, histogrammes. • Les mesures centrales des données : la moyenne, la médiane, le mode. • Les mesures de dispersion des données : l'étendue, la variance et l'écart type. • Définition de la distribution des fréquences d'une série et de la fréquence d'un événement. • Traitement de données expérimentales en physique, chimie et biologie. • Statistique d'Andorre.
Probabilité • Hasard et aléatoire.
Données, fréquences et probabilités.
Loi des grands nombres. • Éléments de combinatoire pour calculer des probabilités (combinaisons, arrangements et permutations). • Calcul de probabilités.
Propriétés.
Équiprobabilité.
La probabilité conditionnelle.
La formule des probabilités totales. • Événements aléatoires.
Événement certain, événement impossible, événements incompatibles ou contraires.
Événements indépendants. • Les variables aléatoires et leurs distributions.
Exemples de lois discrètes et de loi normale. • Modélisation d'expériences aléatoires.
Tables de nombres au hasard. • Applications à des thèmes scientifiques et techniques (erreurs, génétique, biochimie, reproduction cellulaire, groupes sanguins, etc.).
PROCÉDURES • Raisonnements statistiques. • Raisonnement sur les choix d'échantillons. • Raisonnements probabilistes. • Raisonnement sur les dépendances ou indépendances probabilistes. • Raisonnement par proportionnalité à partir d'échantillons. • Inférence statistique. • Conjecture de résultats aléatoires et vérification de leur exactitude. • Recherche de données statistiques adaptées aux problèmes posés. • Calcul de probabilités théoriques et en tant que limites de fréquences. • Application de techniques statistiques au traitement de données expérimentales dans des problèmes de physique, chimie et biologie. • Formulation de modèles d'expériences aléatoires. • Formulation de modèles probabilistes appliqués. • Extraction d'informations utiles des tables de nombres au hasard. • Utilisation des représentations statistiques. • Utilisation des TIC pour visualiser des graphiques statistiques. • Comparaison de situations en fonction de leurs probabilités.
ATTITUDES ET VALEURS • Attitude favorable à la recherche ou à la production de données. • Intérêt et besoin de réaliser des expériences. • Plaisir des représentations graphiques claires. • Développement d'une attitude critique à l'égard des informations statistiques disponibles. • Intérêt pour la valeur de la statistique et de la probabilité dans notre monde. • Appréciation de la manière dont le métier de statisticien comporte des composantes interdisciplinaires.
ORIENTATIONS DIDACTIQUES DU BLOC Le travail sur les thèmes statistiques constitue un défi très formateur, aux multiples applications.
Il est opportun d'adopter une approche éminemment pratique en faisant « vivre le métier de statisticien », qui comprend un travail de terrain, de calcul et de représentation.
Il convient également de travailler diverses formes de recueil de données : enquêtes, comptages, expériences, photographies, entre autres, afin de faciliter la visualisation par les élèves des mathématiques et de leurs applications sous divers formats.
Le travail de ce bloc peut être réalisé à partir de cas d'intérêt tels que la démographie, les résultats d'expériences scientifiques, l'utilisation des mégadonnées sur le réseau, la simulation de processus, le contrôle de la qualité, etc. Il est recommandé de prendre en considération les statistiques historiques et actuelles d'Andorre et d'envisager la réalisation pratique d'un projet visant à mener une étude statistique andorrane sur des thèmes tels que la météorologie, les débits d'eau, les consommations, le transport, etc. Il est également intéressant d'analyser l'usage que les médias font de la statistique, et de le faire de manière critique.
Les logiciels et les calculatrices permettent d'explorer un grand nombre de données et de les traiter de manières très variées.
Il est ainsi possible d'obtenir des études et des résultats plus riches, significatifs et motivants pour les élèves.
Les ressources d'apprentissage des probabilités permettent de bien distinguer et comprendre qu'il existe des situations de hasard ou des phénomènes naturels dans lesquels il est nécessaire de recueillir des données (écologie, changement climatique, météorologie...), d'en calculer les fréquences et d'en dériver le calcul de la probabilité, et des situations aléatoires (phénomènes reproductibles tels que les jeux de hasard dont les probabilités sont calculables théoriquement).
Il est recommandé d'appliquer ce bloc de ressources à des thèmes scientifiques et techniques (ingénierie, génétique, biochimie, reproduction cellulaire, groupes sanguins, dépendances entre phénomènes naturels, corrélations dans des problèmes de santé, etc.).
CRITÈRES D'ÉVALUATION CRITÈRES D'ÉVALUATION DE LA C1 C1.
CA1.
Adéquation Raisonner de manière adéquate s'entend, dans ce programme, comme la qualité consistant à utiliser un raisonnement qui s'accorde avec les caractéristiques du contexte ou du problème posé.
C1.
CA2.
Cohérence La cohérence du raisonnement se réfère à la connexion qui doit exister entre l'ensemble des raisonnements mathématiques utilisés depuis la formulation d'hypothèses ou de conjectures et les arguments mathématiques permettant d'établir les résultats possibles jusqu'à l'évaluation de leur qualité ou de leur justesse.
C1.
CA3.
Sens critique Le sens critique est nécessaire pour mener une réflexion métacognitive sur la validité des types de raisonnements employés et utiliser ou modifier ceux qui conviennent le mieux pour expliquer, argumenter ou reconsidérer la situation mathématique à travailler.
C1 Raisonner mathématiquement à l'aide de diverses ressources logiques CA1.
Adéquation CA2.
Cohérence CA3.
Sens critique CRITÈRES D'ÉVALUATION DE LA C2 C2.
CA1.
Adéquation Dans la résolution de problèmes, l'adéquation signifie que la sélection de stratégies heuristiques et l'application des ressources mathématiques choisies sont appropriées pour résoudre ce problème.
C2.
CA2.
Sens critique Comme pour le raisonnement, le sens critique est nécessaire pour accompagner la réflexion métacognitive afin de réviser et d'améliorer, le cas échéant, le processus de résolution de problèmes, les heuristiques employées et les résultats obtenus lors de la résolution de problèmes.
C2.
CA3.
Efficience Dans la résolution de problèmes de ce programme, l'efficience s'entend comme le fait d'optimiser et d'utiliser les stratégies et les ressources optimales pour résoudre des problèmes.
C2 Résoudre des problèmes mathématiques et appliqués à des contextes scientifiques et techniques CA1.
Adéquation CA2.
Sens critique CA3.
Efficience CRITÈRES D'ÉVALUATION DE LA C3 C3.
CA1.
Adéquation Dans ce programme, la qualité d'adéquation dans la modélisation signifie que des modèles mathématiques sont formulés en appliquant des ressources qui correspondent au modèle et que le modèle est approprié pour travailler la situation posée.
C3.
CA2.
Précision La précision dans la modélisation signifie que les techniques adéquates sont appliquées et que les concepts sont mis en relation selon la méthodologie propre aux mathématiques.
C3.
CA3.
Sens critique La qualité de sens critique dans la modélisation signifie que la modélisation s'accompagne d'une réflexion visant à réaffirmer la pertinence de l'approche adoptée ou à envisager la nécessité de réviser la modélisation choisie et le chemin suivi dans son étude.
Autrement dit, il faut aller au-delà des résultats mathématiques.
Dans le cas où la modélisation n'apporte pas de réponse au contexte, elle doit être reformulée partiellement ou dans sa globalité, ou bien l'analyse doit être reconsidérée à partir d'une autre.
C3 Modéliser mathématiquement des situations scientifiques et techniques en utilisant des ressources numériques, algébriques, fonctionnelles ou statistiques CA1.
Adéquation CA2.
Précision CA3.
Sens critique CRITÈRES D'ÉVALUATION DE LA C4 C4.
CA1.
Adéquation L'adéquation signifie que sont choisis les outils technologiques et les langages mathématiques les plus appropriés pour communiquer les raisonnements employés, les travaux mathématiques et les résultats obtenus, en intégrant les supports nécessaires (dessins, représentations, etc.) qui facilitent la transmission (cession) du processus.
C4.
CA2.
Clarté L'utilisation des représentations, des langages et des codes mathématiques se fait de manière ordonnée et soignée afin de favoriser une compréhension aisée des processus et, le cas échéant, des résultats obtenus.
C4 Communiquer au moyen du langage mathématique et d'outils technologiques les processus et les résultats d'une situation mathématique CA1.
Adéquation CA2.
Clarté ATTENTES DE FIN DE CYCLE À la fin du cycle, pour chacune des compétences, il existe une attente de fin de cycle que l'élève doit avoir atteinte.
ATTENTES DE FIN DE CYCLE DE LA C1 ATTENTES DE FIN DE CYCLE DE LA C2 C1 RAISONNER MATHÉMATIQUEMENT À L'AIDE DE DIVERSES RESSOURCES LOGIQUES À la fin du baccalauréat, l'élève raisonne mathématiquement à l'aide de ressources logiques lorsque, en fonction de la situation posée, il sélectionne, développe et utilise les raisonnements mathématiques (par exemple : déductions, analogies, induction, réduction à l'absurde, interpolation, extrapolation) et les critères logiques permettant d'en déterminer la vérité ou la fausseté (par exemple : propositions, disjonctions, négations, implications, etc.), en observant les limites et les contrastes avec les autres formes d'analyse.
Ainsi, il formule des raisonnements cohérents en fonction de la nature des situations (tant de type exact qu'approchées, statistiques ou probabilistes, c'est-à-dire des dépendances entre événements ou variables) et utilise le sens commun et le sens numérique pour formuler des conjectures plausibles (prédictions crédibles au vu des données et des informations disponibles), en en analysant avec sens critique la validité et en refaisant, le cas échéant, les conjectures initiales.
Il déduit correctement en suivant les étapes ordonnées des démonstrations, en passant des cas particuliers aux cas généraux.
C2 RÉSOUDRE DES PROBLÈMES MATHÉMATIQUES ET APPLIQUÉS À DES CONTEXTES SCIENTIFIQUES ET TECHNIQUES À la fin du baccalauréat, l'élève résout des problèmes mathématiques et appliqués lorsque, à partir d'un problème, il sélectionne les stratégies heuristiques adéquates (diviser le problème en parties, essai et erreur, en le décomposant en parties plus petites, en réalisant des dessins ou des diagrammes, etc.) pour identifier les données fournies, les variables et les relations entre elles et déterminer les inconnues.
Il applique les ressources mathématiques pertinentes pour résoudre le problème, en analysant avec sens critique les informations fournies, le processus de résolution de problèmes, les heuristiques employées et les alternatives possibles ainsi que les résultats afin de réviser de manière itérative et de réorienter le processus de résolution de manière efficiente et de parvenir à une solution réfléchie et justifiée.
Il fait un usage efficient des stratégies et des ressources employées pour résoudre des problèmes.
ATTENTES DE FIN DE CYCLE DE LA C3 ATTENTES DE FIN DE CYCLE DE LA C4 C3 MODÉLISER MATHÉMATIQUEMENT DES SITUATIONS SCIENTIFIQUES ET TECHNIQUES EN UTILISANT DES RESSOURCES NUMÉRIQUES, ALGÉBRIQUES, FONCTIONNELLES OU STATISTIQUES À la fin du baccalauréat, l'élève modélise mathématiquement des situations scientifiques et techniques lorsqu'il formule de manière adéquate la modélisation de situations de la vie quotidienne à partir de la sélection de données pertinentes, identifie les données dont il a besoin pour créer le modèle et les recherche.
Il établit les relations qui existent entre les données et applique de manière adéquate les ressources numériques, algébriques, fonctionnelles ou statistiques nécessaires pour transformer l'information des données et leurs relations en un modèle mathématique.
Il révise avec sens critique le modèle et les résultats obtenus, les confronte à la situation réelle de départ, et évalue leur valeur pratique ainsi que l'opportunité et la signification du modèle et des résultats.
C4 COMMUNIQUER AU MOYEN DU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET D'OUTILS TECHNOLOGIQUES LES PROCESSUS ET LES RÉSULTATS D'UNE SITUATION MATHÉMATIQUE À la fin du baccalauréat, l'élève communique au moyen du langage mathématique et d'outils technologiques lorsque, face à une situation présentée par des énoncés oraux, écrits ou observés, il lit mathématiquement la situation en sélectionnant de manière adéquate les langages et codes mathématiques les plus adéquats pour communiquer le processus suivi et les résultats.
Il exprime de manière claire, à l'aide de ressources et de langages mathématiques, les raisonnements, les processus suivis et/ou les résultats obtenus avec correction mathématique, en soignant le langage mathématique oral et écrit ou graphique.
TABLEAUX DE SYNTHÈSE TABLEAU DE SYNTHÈSE DE LA C1 Raisonner mathématiquement à l'aide de diverses ressources logiques C1 Apprécier la nécessité des démonstrations et de leurs étapes Conjecturer en langage mathématique (raisonnement plausible) Utiliser divers types de raisonnements propres aux mathématiques : déduction, analogie, induction, réduction à l'absurde Choisir les critères logiques de vérité ou de fausseté en observant les limites et les contrastes avec d'autres formes d'analyse Compétence 1 et ses dimensions Critères d'évaluation CA1.
Adéquation CA2.
Cohérence CA3.
Sens critique À la fin du baccalauréat, l'élève raisonne mathématiquement à l'aide de ressources logiques lorsque, en fonction de la situation posée, il sélectionne, développe et utilise les raisonnements mathématiques (par exemple : déductions, analogies, induction, réduction à l'absurde, interpolation, extrapolation) et les critères logiques permettant d'en déterminer la vérité ou la fausseté (par exemple : propositions, disjonctions, négations, implications, etc.), en observant les limites et les contrastes avec les autres formes d'analyse.
Ainsi, il formule des raisonnements cohérents en fonction de la nature des situations (tant de type exact qu'approchées, statistiques ou probabilistes, c'est-à-dire des dépendances entre événements ou variables) et utilise le sens commun et le sens numérique pour formuler des conjectures plausibles (prédictions crédibles au vu des données et des informations disponibles), en en analysant avec sens critique la validité et en refaisant, le cas échéant, les conjectures initiales.
Il déduit correctement en suivant les étapes ordonnées des démonstrations, en passant des cas particuliers aux cas généraux.
Valider ses propres conjectures TABLEAU DE SYNTHÈSE DE LA C2 Résoudre des problèmes mathématiques et des problèmes appliqués à des contextes scientifiques et techniques C2 Choisir dans chaque branche mathématique les ressources numériques, algébriques, fonctionnelles ou statistiques pour chaque type de problème Utiliser des stratégies heuristiques diverses et leurs combinaisons Appliquer un plan d'action en observant de manière critique ses résultats Compétence 2 et ses dimensions Critères d'évaluation CA1.
Adéquation CA2.
Sens critique CA3.
Efficience À la fin du baccalauréat, l'élève résout des problèmes mathématiques et appliqués lorsque, à partir d'un problème, il sélectionne les stratégies heuristiques adéquates (diviser le problème en parties, essai et erreur, en le décomposant en parties plus petites, en réalisant des dessins ou des diagrammes, etc.) pour identifier les données fournies, les variables et les relations entre elles et déterminer les inconnues.
Il applique les ressources mathématiques pertinentes pour résoudre le problème, en analysant avec sens critique les informations fournies, le processus de résolution de problèmes, les heuristiques employées et les alternatives possibles ainsi que les résultats afin de réviser de manière itérative et de réorienter le processus de résolution de manière efficiente et de parvenir à une solution réfléchie et justifiée.
Il fait un usage efficient des stratégies et des ressources employées pour résoudre des problèmes.
TABLEAU DE SYNTHÈSE DE LA C3 Modéliser mathématiquement des situations scientifiques et techniques en utilisant des ressources numériques, algébriques, fonctionnelles ou statistiques C3 Développer le modèle mathématique en expérimentant avec des ressources numériques, algébriques, fonctionnelles ou statistiques Réviser de manière critique le modèle initial au vu de ses résultats Formuler des modèles mathématiques à partir de questions réelles Refaire, le cas échéant, le modèle Compétence 3 et ses dimensions Critères d'évaluation CA1.
Adéquation CA2.
Précision CA3.
Sens critique À la fin du baccalauréat, l'élève modélise mathématiquement des situations scientifiques et techniques lorsqu'il formule de manière adéquate la modélisation de situations de la vie quotidienne à partir de la sélection de données pertinentes, identifie les données dont il a besoin pour créer le modèle et les recherche.
Il établit les relations qui existent entre les données et applique de manière adéquate les ressources numériques, algébriques, fonctionnelles ou statistiques nécessaires pour transformer l'information des données et leurs relations en un modèle mathématique.
Il révise avec sens critique le modèle et les résultats obtenus, les confronte à la situation réelle de départ, et évalue leur valeur pratique ainsi que l'opportunité et la signification du modèle et des résultats.
TABLEAU DE SYNTHÈSE DE LA C4 Communiquer au moyen du langage mathématique et d'outils technologiques les processus et les résultats d'une situation mathématique C4 Utiliser les outils technologiques pour explorer, simuler et représenter des situations mathématiquement à l'aide de tableurs, de logiciels de calcul, de représentation graphique et de géométrie dynamique Expliquer en langage mathématique les étapes suivies Compétence 4 et ses dimensions Critères d'évaluation CA1.
Adéquation CA2.
Clarté À la fin du baccalauréat, l'élève communique au moyen du langage mathématique et d'outils technologiques lorsque, face à une situation présentée par des énoncés oraux, écrits ou observés, il lit mathématiquement la situation en sélectionnant les langages et codes mathématiques les plus adéquats pour communiquer le processus suivi et les résultats.
Il exprime de manière claire, à l'aide de ressources et de langages mathématiques, les raisonnements, les processus suivis et/ou les résultats obtenus avec correction mathématique, en soignant le langage mathématique oral et écrit ou graphique.